class 10 #all math about kose dekhi 1.1 part 4/দশম শ্রেণি অংক কষে দেখি 1.1 অনুশীলনী
 |
দশম শ্রেণি গণিত
কষে দেখি 1.1 সকল অংক
1. এর নিচে বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি /কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি।
(i) x²-7x+2 (ii)7x5—x(x+2)
(iii) 2x(x+5) +1 (iv) 2x–1
উত্তর -
(i) x²-7x+2
বহুপদী সংখ্যামালাটির x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2. তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
(ii)7x5-x(x+2)
7x5-x²-2x বহুপদী সংখ্যামালা টির x এর সর্বোচ্চ ঘাত 5. তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
(iii) 2x(x+5)+1
2x²+10x+1 বহুপদী সংখ্যামালা টির xএর সর্বোচ্চ ঘাত 2. তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
(iv) 2x–1 বহুপদী সংখ্যামালা টির xএর সর্বোচ্চ ঘাত 1তাইএকটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
2 নিচের সমীকরণ গুলি কোনটি ax²+bx+c, সেখানে a,b,c বাস্তব সংখ্যা এবং a≠0 আকারে লেখা যায় তা লিখি।
1
(i) x - 1 + —. = 6 ( ≠ 0)
x
3
(ii). x +. — =. x² , (x ≠ 0)
x
(iii) x² - 6 √x+2 = 0
(iv) (x-2) ² =-x²-4x + 4
উত্তর-
1
(i) x - 1 + —. = 6 ( ≠ 0)
x
, x² -x +1
বা , -------------------- = 6
x
বা,. x² -7x+1=6x
বা, x² -7x+1=0
3
(ii). x +. — =. x² , (x ≠ 0)
x
বা,x ² + 3= x³
বা, x³ = x² +3
বা, x³ - x² -3. =0
(iii) x² - 6 √x+2 = 0
বা, x² - 6 √x+2 = 0
(iv) (x-2) ² =- x² -4x + 4
বা, x² - 2x2 + 2² =- x² -4x + 4
বা,x² -4x + 4=- x² -4x + 4
এটি একটি অভেদ
উত্তর 1
(i) x - 1 + —. = 6 ( ≠ 0)
x
এই সমীকরণটি ax²+bx+c আকারে লেখা যাবে।
3. x6-x³-2 = 0 সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি
উত্তর
x6-x³-2 = 0
(x³)² -x³-2= 0
x³ = y ধরলে,y ² - y -2 = 0
অতএব x³ এর সাপেক্ষে সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ
4.(I)( a-2)x²+3x+5=0 সমীকরণ টি a এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না নির্ণয় করি
উত্তর ( a-2)x²+3x+5=0 সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না যদি x² এর সহগ শূন্য (0)হয়
অর্থাৎ a-2=0
বা,a=2
a= 2 এর জন্য প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না
(ii) x 1
---------- =--------- ( x≠0, x≠4)
4--x. 3x
কে ax²+bx+c=0 (a≠0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে x এর সহগ কত হবে নির্ণয় করি
উত্তর
x 1
---------- =--------- ( x≠0, x≠4)
4--x. 3x
বা , 3x.x = 4 - x
বা, 3x²+x-4 অতএব x এর সহগ = 1
(iii) 3x²+7x+23=(x+4) (x+3)+2 কে
ax²+bx+c =0(a≠0) দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে প্রকাশ করি
উত্তর
বা, 3x²+7x+23=(x+4) (x+3)+2
বা, 3x²+7x+23=x²+7x+14
বা , 3x²+7x+23-x²-7x-14=0
বা , 2x²+9=0
বা , 2x²-0.x+9=0
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যেখানেa=2(≠0), b=0,c=9
(iv) (x + 2)³ = x(x² - 1) সমীকরণটি কে ax²+bx+c =0(a≠0) দ্বিঘাত সমীকরণ এ আকারে প্রকাশ করি এবংx²,x,x° এর সহগ লিখি
উত্তর-
(x + 2)³ = x(x² - 1)
বা,x ³+3.x².2+3.x.2²+2³=x³-x
বা, x³+6x²+12c+8=x³-x
বা, 6x²+13x +8=0
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ এখানে x²এর সহগ 6 , x এর সহগ 13, x°এর সহগ 8
5. নিচের বিবৃতি গুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) 42 কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয় ।
উত্তর -
ধরি ,অংশ দুটি x ও (42-x)
প্রশ্ন অনুসারে x²= 42 - x
বা, .x² +x - 42 =0
বা, x² +7x-6x-42 =0
বা , (x+7)(x-6)=0
বা, x+7=0
বা, x = -7
অথবা x-6=0
বা ,x=+6
এখানে x=-7 গ্রহণযোগ্য হবে না।
x=6 গ্রহণযোগ্য হবে ।
অতএব 42 কে 6 এবং( 6)² = 36 এই দুই অংশে বিভক্ত করতে হবে।
(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুনফল 143
উত্তর -
.ধরি, দুটি ধনাত্মক ক্রমিক অযুগ্ম সংখ্যা (2x-1) এবং (2x+1)
উল্লিখিত আছে (2x-1) এবং (2x+1)=143
বা ,4x²-1=143
বা, 4x²=143+1
বা, 4x²=144
144
বা,x ²= ------ = 36
4
বা ,x²-36=0 একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ।
(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313
উত্তর -
ধরি কোন সংখ্যা দুটি x এবং (x+1)
উল্লিখিত আছে
x ² + (x+1)²=313
বা , x²+x²+2x+1=313
বা , x²+x²+2x+1-313=0
বা ,2x²+2x-312=0
বা , x²+x-156=0 এটি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ।
6. নিচের বিবৃতি গুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(I) একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি।
উত্তর -
মনে করা যাক আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x মিটার দৈর্ঘ্য = (x+3) মিটার ।
__________
আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য =√ (x+3)²+x² মিটার।
প্রশ্ন অনুসারে
__________
√ (x+3)²+x² =15
বা ,(x+3)²+x²=(15)²
বা , x²+6x+9+x²=235
বা , x²+6x+9-235+x²=0
বা, 2x²+6x-216=0
বা ,.x²+3x-108=0 এটি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ।
(ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায় কয়েকটি গ্রাম চিনি ক্রয় করলেন ।যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন, তবে তার কিগ্রা প্রতি চিনির দাম 1টাকা কম হতো।
উত্তর - 80
একটি গ্রাম চিনির দাম -------- টাকা।
x
তিনি আরও চার কেজি চিনি বেশি পেলে চিনির পরিমাণ হয়( x+4) কিগ্রা।
অর্থাৎ ওই ব্যক্তি 80 টাকায়( x+4) কিগ্রা চিনি পেতেন ।
80
অতএব এক কিগ্রা চিনি পেতেন = ----- টাকায়
x+4
80. 80 শর্ত অনুসারে ----- – -------- = 1
x. x+4
1 1 :. 1 বা , . ----- – -------- = -----
x. x+4. 80
x + 4 - x. 1
বা, ------------------- = ------
x(x+4). 80
বা, x² +4x =320
বা, x² +4x -320 =0 এটি নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ।
(iii) দুটি টেশন এর মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি। একটি ট্রেন স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল। ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি বেশি হলে, ট্রেনটি দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘন্টা কম সময় লাগবে।
ধরি, প্রথমে ট্রেনটি যায় সমবেগে ঘন্টায় x কিমি।
অর্থাৎ 300 কিমি যেতে তিনটি সময় লাগবে
300
= ---------ঘণ্টা
x
ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি বেশি হলে গতিবেগ হবে ঘণ্টায়( x+5) কিমি ।
এই গতিবেগে 300 কিমি যেতে সময় লাগবে
300
=------------ঘণ্টা
x+5
ঘন্টা প্রশ্ন অনুসারে-
300 300
=--------- – --------- = 2
x x×5
( 1. 1 )
বা,300 ( ----- – ------) = 2
( x. x+5 )
x+5-x 2
বা ,--------------. = ------
x(x+5). 300
5 1
বা-------------. = ------
x²+5x 150
বা, x²+5x–750=0 এটি একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ।
(iv)একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলে তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা লাভ হল
উত্তর-
মনে করে ঘড়িটি x টাকায় ক্রয় করলেন।
তাহলে ক্রয় মূল্য = x টাকা
একই পরিমাণ লাভ হলে ,
লাভ হয় =x টাকা
অতএব শতকরা অর্থাৎ
100 টাকায় লাভ হয় = x টাকা
x
1 টাকায় লাভ হয় = ----- টাকা
100
x.x x²
x টাকায় লাভ হয় =----------- = --------- টাকা
100. 100
x²
অতএব x টাকায় লাভ হয় = ------ টাকা
100
x²
শর্ত অনুসারে. x + -------- =333
100
100x+x²
বা, ---------------- = 336
100
মা x² + 100x -33600 =0 এটি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
(v) স্রোতের বেগ ঘন্টায় 2 কিমি হলে, রতন মাঝি স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি গিয়ে ওই দদূরত্ব ফিরে আসতে 10 ঘন্টা সময় লাগে।
মনে করি ,
স্ত্রীর জলে নৌকার বেগ x কিমি/ঘন্টা
অতএব
স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = x+2 কিমি/ঘণ্টা।
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = x-2 কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের অনুকূলে
1 কিমি যেতে সময় লাগে = x+2 ঘণ্টা।
21
21 কিমি যেতে সময় লাগে = ------ঘণ্টা
x+2
স্রোতের প্রতিকূলে
1 কিমি যেতে সময় লাগে = x-2 ঘণ্টা।
21
21 কিমি যেতে সময় লাগে = ------ঘণ্টা
x-2
যাওয়া আসায় মোট সময় লাগে
( 21. 21. )
(--------- +. ------- ). ঘণ্টা
( x+2 x-2 )
শর্ত অনুসারে
21. 21.
--------- +. ------- .= 10
x + 2 x - 2
বা, ( 21. 21. )
21 ( --------- +. ----- ) = 10
( x+2 x-2 )
বা, x - 2 + x + 2. 10
-------------------- -= -----
(x+2)(x-2). 21
বা,. 2x. 10
--------. =. --------
x² - 4 21
বা,. x 5
--------. =. --------
x² - 4 21
বা , 5x² - -21x - 20 =0 এটি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে রহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে তারা উপরে একসঙ্গে কাজই 2 ঘন্টায় শেষ করতে পারে
মনে করি,
রহিম x ঘন্টায় কাজটি সম্পূর্ণ করতে পারে। এবং মজিদ কাজটি সম্পূর্ণ করতে পারে x+3 ঘন্টায়।
অতএব
মহিম কাজটি x ঘন্টায় করে 1 অংশ
1
কাজটি 1. ঘন্টায় করে ---অংশ
x
মাজিদ
কাজটি x ঘন্টায় করে 1 অংশ
1
কাজটি 1 ঘন্টায় করে ---অংশ
x
দুজনে একত্রে এক ঘন্টা কাজ করে
1 1
=------- + -------. অংশ
x x+3
শর্তানুসারে
1 1 1
বা------- + -------. =------
x x+3 2
x + 3 + x 1
বা, ------------------- =-----
x ( x + 3 ) 2
2x. +. 3. 1
বা, -------------- = -----
x² + 3x. 2
বা, x ² + 3x = 4x + 6
বা,x²- x - 6 = 0 এটি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
(vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অংক টি দশক স্থানীয় অংক অপেক্ষা 5 বেশি এবং গুনফল সংখ্যাটির চেয়ে 13 কম।
উত্তর মনে করি দশক স্থানীয় অংক টি x
তাহলে একক স্থানীয় অংক টি হবে (x+6)
সুতরাং সংখ্যাটি হবে
10x -(x+6) =11x+6
শর্তানুসারে, x (x+6) =11x + 6 - 13
বা,x² + 6x - 11x + 6 =0
বা, x² + 5x +6 =0 এটি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
(v iii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তাকার খেলার মাঠের বাইরে চারপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার
উত্তর -
মনে করি রাস্তাটি প্রস্থ = x মিটার
রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য( 45 + 2x) মিটার
এবং রাস্তাসহ মাঠের প্রস্থ (40 + 2x) মিটার
রাস্তার ক্ষেত্রফল=
( 45 + 2x)(20 +2x )বর্গমিটার
রাস্তা বাদে মাঠের ক্ষেত্রফল =
45 ×40 বর্গমিটার
শর্ত অনুসারে,
( 45 + 2x)(20 +2x } - 45 × 40 = 450
বা, 1800+90x+80x+4x²+1800 =450
বা, 4x²+170x-450=0
বা, 2c²(85x+225=0 ইহা একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
দশম শ্রেণীর গণিত প্লেলিস্ট
কষে দেখি 1.1 প্রথম পর্ব
দ্বিতীয় পর্ব
তৃতীয় পর্ব
কষে দেখি 1.2 প্রথম পর্ব
এবং দ্বিতীয় পর্ব
কষে দেখি 1.3 mcq সহ
কষে দেখি 1.4
কষে দেখি 1.5 mcq সহ
কষে দেখি 4 mcq সহসকল অঙ্ক