class 9 Math dekhi 5.3/ নবম শ্রেণীর গণিত কষে দেখি 5.3 রৈখিক সহ সমীকরণ( দুই চল বিশিষ্ট)
দশম শ্রেণীর গণিত প্লেলিস্ট
কষে দেখি 1.1 প্রথম পর্ব
দ্বিতীয় পর্ব
তৃতীয় পর্ব
কষে দেখি 1.2 প্রথম পর্ব
এবং দ্বিতীয় পর্ব
কষে দেখি 1.3 mcq সহ
কষে দেখি 1.4
কষে দ
 |
নবম শ্রেণীর
গণিত
কষে দেখি 5.3
নিচের দুই চল বিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ গুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করো এবং লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান যাচাই করো।
( এখানে তোমাদের সমাধান এবং সমাধান বিন্দুগুলো দেওয়া হবে তোমরা লেখচিত্রে বসিয়ে দেবে)
(a) 8x +5y-11=0,. 3x–4y–10=0 ,
(b)2x+3y-7=0, 3x+2y–8 =0
সমাধান ঃ (a) 8x +5y=11........(i)
3x–4y=10.......(ii)
(i)নং সমীকরণ কে 4দ্বারা ও(ii)নং সমীকরণকে 5 দিয়ে গুণ করে পাই
32x +20y =44 .........(iii)
15x–20y = 50.......(iv)
__________________________
(iii)এবং(iv) 47x. = 94
যোগ করিয়া পাই. 94
বা, =-------- বা,x=2
47
(i) নং সমীকরণে x=2 বসিয়ে পাই
8x +5y=11........(i)
বা, (8×2) +5y =11
বা, 16 +5y =11
বা, 5y = 11 –16
বা, 5y= –5
-5
বা, y = -----
5
বা,y=–1
নির্ণেয় সমাধান (x,y)= (2,-1)
(b) 2x+3y-7=0, 3x+2y–8 =0
সমাধান ঃ (b)2x+3y=7......(i)
3x+2y= 8.....(ii)
(i)নং সমীকরণ কে 2 দ্বারা ও(ii)নং সমীকরণকে 3 দিয়ে গুণ করে পাই
4x + 6y =14 .........(iii)
9x + 6y = 24. .......(iv)
__(-)__(-)__(-)____________
(iii)এবং(iv) -5x. = -10
বিয়োগ করিয়া পাই. -10
বা,y=-------- বা,x=2
-5
(i) নং সমীকরণে x=2 বসিয়ে পাই
2x+3y=7. .......(i)
বা, (2×2) +3y =7
বা, 4+3y =7
বা, 3y = 7–4
বা, 3y= 3
3
বা, y = -----
3
বা,y=1
নির্ণেয় সমাধান (x,y)= (2,1)
2. 7x- 5y =--2 সমীকরণকে কত দিয়ে গুন করে 2x+15y=-3 সমীকরণের সঙ্গে কত যোগ করলে যাতে y চলটি অপনিত হয়?
উত্তর
7x- 5y =--2 ...........(i)
2x+15y=-3 .............(ii)
(i) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুন করে (ii) নং সমীকরণ এর সঙ্গে যোগ করলে অপনিত হয়
4. অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করোঃ
(i)3x+2y=6. , 2x–3y=17
সমাধান ঃ (a) 3x+2y=6.........(i)
2x–3y=17......(ii)
(i)নং সমীকরণ কে 3 দ্বারা ও(ii)নং সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই
9x +6y =18.........(iii)
4x–6y = 34......(iv)
__________________________
(iii)এবং(iv) 13x. = 52
যোগ করিয়া পাই. 52
বা, -------- বা,x=4
14
(i) নং সমীকরণে x=4 বসিয়ে পাই
3x+2y=6.........(i)
বা, (3×4) +2y =6
বা, 12 +2y =6
বা, 2y = 6–12
বা, 2y= –6
-6
বা, y = -----
2
বা,y=–3
নির্ণেয় সমাধান (x,y)= (4 -3)
(ii) 2x×3y=32 , -9x+11y =3
সমাধান ঃ
2x+3y=32 ...........(¡)
-9x+11y =3..........(ii)
(i)নং সমীকরণ কে 9 দ্বারা ও(ii)নং সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই
18x + 27y =288.........(iii)
-18x + 22y =. 6..........(iv)
__________________
(iii)এবং(iv) . 49y = 294
যোগ করিয়া পাই. 294
বা,y -------- বা,y=6
49
(i) নং সমীকরণে y=6 বসিয়ে পাই
2x+3y=32 ...........(¡)
বা, 2x +(3×6) =32
বা, 2x. = 32-18
বা, 2x = 14
14
বা, x = -----
2
বা,x =7
নির্ণেয় সমাধান (x,y)= (7, 6)
5
(iii) x + y =48. ,x + 4 =-----(y+4)
2
সমাধান ঃ
(iii) x + y =48.........(i).
5
x + 4 =-----(y+4)
2
বা,2(x+4)=5(y+4)
বা,2x +8=5y+20
বা,2x– 5y = 20–8
বা, 2x – 5y =12 ......(ii)
(i)নং সমীকরণ কে 2 দ্বারা ও(ii)নং
সমীকরণকে 1দিয়ে গুণ করে পাই
2x + 2y =96.........(iii)
2x - 5y =. 12.........(iv)
(-)__(+)____(-)____________
(iii)এবং(iv) . 7y =84
বিয়োগ করিয়া পাই. 84
বা,y -------- বা,y=12
7
(iv) নং সমীকরণে y=12 বসিয়ে পাই
2x - 5y =. 12.........(iv)
বা,2x–(5×12)=12
বা, 2x –60=12
বা,2x =12+60
বা,2x=72
72
বা, x = -----
2
বা,x=36
নির্ণেয় সমাধান (x,y)= (36,12)
(iv) x y. 5x.
----- +. --- = 8 ,. -------- – 3y = –3
2. 3. 4
সমাধান ঃ
x y. 5x.
----- +. --- = 8 ,. -------- – 3y = –3
2. 3. 4
3x+2y 5x -12y
বা, -------------= 8. বা,,---------- = -3
6 4
বা, 3x+2y=48....(i). বা, 5x -12y = –12 .(ii)
(i)নং সমীকরণ কে 6 দ্বারা ও(ii)নং
সমীকরণকে 1 দিয়ে গুণ করে পাই
18x + 12y = 288........(iii)
5x - 12y =. - 12.........(iv)
__ ________________
(iii)এবং(iv) 23x = 276
য়োগ করিয়া পাই. 276
বা,x= -------- বা,x=12
23
(i) নং সমীকরণে x=12 বসিয়ে পাই
3x+2y=48....(i)
বা, (3×12)+ 2y =48
বা, 36 + 2y=48
বা,2y = 48 –36
বা,2x=12
12
বা, x = -----
2
বা,x=6
নির্ণেয় সমাধান (x,y)= (12,6)
(v). 2 4.
3x – --- = 5 ,. x + ------ =4
y y
সমাধান ঃ
2 4.
3x – --- = 5....(i) x + ------ =4.....(ii)
y y
(i)নং সমীকরণ কে 2 দ্বারা ও(ii)নং
সমীকরণকে 1 দিয়ে গুণ করে পাই
4
6x – --- = 10. ...........(iii)
y
4
x + ------ =4................(iv)
y
----------------------------------
যোগ করিয়া 7x =14
পাই.
14
বা,x =------=2
7
(i) নং সমীকরণে x=2 বসিয়ে পাই
2
3x – --- = 5....(i)
y
2
3×2 – --- = 5.
y
2
6. – --- = 5
y
6y –2
বা,----------------=5
y
বা,5y = 6y–2
বা,5y –6y= –2
বা,– y=–2
বা,y =2
নির্ণেয় সমাধান (x,y)= (2 ,2)
(vi) x y. x. y
----- +. --- = 1 ,. ------ + ------ = 1
2. 3. 3 2
সমাধান ঃ
(vi) x y. x. y
----- +. --- = 1 ,. ------ + ------ = 1
2. 3. 3 2
3x+2y 2x +3y
বা, -------------= 1 বা,,---------- = 1
6 6
বা, 3x+2y=6...(i). বা, 2x +3y =6.(ii)
(i)নং সমীকরণ কে 2 দ্বারা ও(ii)নং
সমীকরণকে 3 দিয়ে গুণ করে পাই
6x + 4y = 12. .......(iii)
6x + 9y =. 18. ........(iv)
(-)_ (-)__(-)____________
(iii)এবং(iv) -5y = -6
বিয়োগ করিয়া পাই. - 6. 6
বা, y =------ =----
- 5. 5
(i) নং সমীকরণে 6
y =------
5
বসিয়ে পাই
3x + 2y = 6....(i)
6
3 x + 2× -----=6
5
12
3 x + ----- =6
5
15 x + 12
---------------=6
5
বা, 15x+12 =30
বা, 15x =30-12
বা,15 x= 18
18. 6
বা, x = ----- = ---
15. 5
6. 6
নির্ণেয় সমাধান (x,y)= (. ----. ---. )
5. , 5
(vii).
x+y 3x–5y x. y
--------- + -------- = 2 ,. ------ + ---- =1
2. 4 14 18
সমাধান ঃ
x+y 3x - 5y x. y
--------- + -------- = 2 ,. ------ + ---- =1
2. 4 14 18
2x+2y + 3x–5y 9x +7y
বা, ------------------= 2. বা,,---------- = 1
4 126
বা, 5x–3y=8....(i). বা, 9x+7y =126...(ii)
(i)নং সমীকরণ কে 7 দ্বারা ও(ii)নং
সমীকরণকে 3 দিয়ে গুণ করে পাই
35x - 21y =. 56.......(iii,)
. 27x + 21y = 378.......(iv)
. __ ________________
(iii)এবং(iv) 62x = 434
যোগ করিয়া পাই. 434
বা,x ,= -------- বা,x=7
62
(i)নং সমীকরণে x=7 বসিয়ে পাই
5x–3y=8....(i).
বা, (5 ×7)- 3y =8
বা, 35 -3y=8
বা,-3y = 8 –35
বা,-3y = -27
-27
বা, y = -----
-3
বা,y, =9
নির্ণেয় সমাধান (x,y)= (7 ,9 )
(viii) xy 1 xy 1
-------- =. --- , , -------- =-----
x + y. 5 x–y. 9
সমাধান ঃ
(viii) xy 1 xy 1
-------- =. --- , , -------- =-----
x + y. 5 x–y. 9
x + y x -y
বা, -------- =. 5, , বা, -------- = 9
x y. xy.
বা, 1 1 ; 1 1
------ + ----- =5 ------- - ----- =9
x. y. x. y
1 1 ;
------ + ----- =5 .......(i)
x. y.
1 1 ;
------ – ----- =9 ..........(ii)
x. y.
------------------------------------
যোগ করিয়া 1. 1
পাই. ----- +. ----- =. 14
x. x
, 1+1
বা, -------------=14
x
2
বা, ---------=14
x
বা,14x =2
2 1
বা,x = ------ = ---
14 7
1
(ii) নং সমীকরণে x=---- বসিয়ে পাই
7
1 1
------ – ----- =9 ..........(ii)
x. y.
1
বা,7- ----- =9 .
y.
1
বা. – ----- =9 –7
y.
1
বা, – ----- =2 .
y.
বা,, 2y= –1
1
বা, y = – ----
2
নির্ণেয় সমাধান (x,y)
1 1
= ------ – ----
7 , 2
(ix)
1 1 ; 1 1
------ + ----- =2 ------- + ----- =5
x–1. y–2. x–2. y–2
মনে করি,
1 1 ;
------. =a ------- = b
x–1. y–2.
a + b =3........(i) ,. 2a + 3 b = 5......(ii)
1 নং সমীকরণ কে 2 দ্বারা গুণ এবং দুই নং সমীকরণকে 1 দ্বারা গুন করিয়া পাই
2a + 2b =6........(iii)
2a + 3 b = 5......(iv)
------------(-)-----(-)---(+)---------------- বিয়োগ করিয়া পাই –b = 1
বা, b = –1
(i)নং সমীকরণে b=–1 বসিয়ে পাই
a+b=3
বা, {a ×(–1)}=3
বা, a =3+1=4
aএবং b এর মান বসাইয়া পাই
1 1
----- = –1. --------=4
y–2 x –1
বা,. (y –2)×-1=1. বা, 4x –4 = 1
বা,–y + 2=1 বা, 4x = 1+ 4
বা, –y =1–2 বা,4x =5
5
বা,–y = –1 বা, x = ---
4
বা, y = 1
5 নির্ণেয় ও সমাধান (x, y) = ---. 1
4. ,
(x)
14 3 21 1
------ + ----- =5 ------- + ----- =2
x+y. x–y x+y. x–y
মনে করি,
1 1 ;
------. =a ------- = b
x + y. x–y.
14a + 3b=5.......(i) ,. 21a–b =2..(ii)
1 নং সমীকরণ কে 1 দ্বারা গুণ এবং দুই নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুন করিয়া পাই
14a + 3b =5......(iii)
63a –3,b = 2.....(iv)
------------------------------------
য়োগ করিয়া পাই 77a=11
11. 1
বা, a = --- =----
77. 7
1
a =----- বা, x+y =7....(v)
7
1
আবার 14,× ------ +3b =5
7
বা, 2 +3b=5
বা, 3b =5-2=3
3
বা,b=------=1
3
1 ;
বা, ------- = 1
. x–y.
বা, x,,-,y =1
X+y=7........(v)
x-y =1.......(vi,)
----------------------
যোগ 2x= 8
করিয়া পাই 8
x =------=4
2
(v) নং সমীকরণে x=4 মান বাসায়া পাই
x + y=7
বা,4+y=7
বা, 7+4=3
গতি নির্ণেয় সমাধান (x,y)=(4,3)
পরবর্তী পর্বে চোখ রাখো