class 10 math kashe dekhi 1.4 /দশম শ্রেণী গণিত কষে দেখি 1.4 পর্ব 1
 |
দশম শ্রেণীর গণিত 1.4 পর্ব
কষে দেখি 1.5 পর্ব দেখুন ক্লিক করুন
1. (i) 4x²+ (2x - 1)(2x + 1) = 4x(2x - l)-এই সমীকরণটি সমাধানে শ্রী ধর আচার্যের
সুত্র প্রয়োগ কিনা বুঝে লিখি।
উঃ। 4x² + (2x - 1)(2x + 1) = 4x(2x - 1)
বা, 4x²+ (2x)² - (1)² = 8x² - 4x²
বা, 4x² + 4x² - 1 = ৪x² - 4x
বা, ৪x² - ৪x² - 4x - 1 =0
বা, 4x - 1 = 0, ইহা দ্বিঘাত সমীকরণ নয়।
সুতরাং, এখানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়ােগ করা যাবে না।
(ii) শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা কোন ধরনের সমীকরণ সমাধান করতে পরি?
উঃ। একচল দ্বিঘাত সমীকরণ।
(i) 5x² + 2y - 7 = 0 এই সমীকরণে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে
k±12
k= ---------- পাওয়া গেলে kএর মান কী হবে?
10
উ। প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax²+bx + c = 0 সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করলে পাই-
a=5 , b=2 এবং c = -7
- b ± √b² - 4ac
শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী,
_______
-b ± √b² - 4ac
x=. --------------------
2a
a, b ও c-এর মান বসিয়ে পাই, x =
-2 + √(2)² – 4.51-7)
_____________
-2 + √(2)² – 4.5(-7)
x=. ----------------------------
2.5
; _______
-2 ± √4+100
=. --------------------
10
_____
-2 ± √144
=. --------------------
10
-2 ± 12
=. -------------
10
শর্তানুযায়ী
k±12 –2±12
k= ---------- = -----------
10 10
বা, k±12= -2 ±12 [উভয়পক্ষকে 10 দ্বারা গুণ করে পাই]
বা, k=–2
2. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণগুলি বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে
(i) 3x²+11x - 4 = 0
উঃ। 3x2 + 11x - 4 = 0..........(I)
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a +≠0]
দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 3, b. = 11 এবং c = - - 4
. b²- 4ac = (11)² - 4.3.(- 4)
= 121 + 48 =
169 > 0
. (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
বীজগুলি
_______
-b ± √b² - 4ac
=. --------------------
2a
_____
-11± √169
=. --------------------
2.3
-11±13
=. --------------------
6
-11+13. 2. 1
x=. -------------. =------ =. ----. হবে
6 6. 2
নয়তো-
-11 -13. -24
x=. --------------------. =--------. = -4 হবে।
6. 6
(ii) (x - 2)(x + 4) + 9 = 0
উঃ। (x - 2)(x + 4) + 9 = 0
বা, x²+ 2x - 8 + 9 = 0
বা, x²+ 2x +1 = 0
(1) নং দ্বিঘাত সমীকরণাকে ax2. ৮x + c = 0
(a ≠0) দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 1, b = 2, এবং c = 1,
b ² - 4ac = 2² - 4.-1
= 4 - 4 = 0
1) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তৰ বীজ আছে।
________
-b ± √b² - 4ac
=. --------------------
2a
-2 ± 0
=. ---------
2.1
=. -_2_±0_
2
-2+0
x=. ------ = -1. হবে।
2
নয়তো
-2-0
x=. ------ = -1. হবে।
2
বীজগুলি হইল -1,-1
(iii) (4x - 3)² -2(x + 3) = 0
উঃ। (4x - 3)² -2(x + 3) = 0
বা, (4x)² - 2.4x.3 + (3)² - 2x-6=0
বা, 16x² - 24x + 9 - 2x - 6 = 0
বা, 16x² - 26x + 3 = 0
ax² + bx + c = 0 সমীকরণের সহিত প্রদত্ত সমীকরণটি তুলনা করে পাই-
a =10 b = -26 c = 3
. শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই
________
-b ± √b² - 4ac
x=. --------------------
2a
a, b, c-এর মান বসিয়ে পাই,
_____________
-(-26 )± √(-26)²-4.16.3
=. -------------------------------
2.16
________
26 ± √ 676+192
=. --------------------
32
_____
26±√ 484
=. --------------------
32
26 + 22
x =. -------------
32
48 3
=--------. = ----- হবে।
32 2
নয়তো
26–22. 6. 1
x=. --------------. =---. =--- হবে।
32. 32. 8
(iv) 3x² + 2x -1 = 0
উঃ। 3x² + 2x - 1 = 0............(I)
(1) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0
দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 3, b = 2, c = -1
. b²= 4ac = (2)² - 4.3.(- 1)
= 4 + 12 = 16 > 0
. (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
বীজগুলি
________
-b ± √b² - 4ac
=. --------------------
2a
___
-2 ± √16
=. ------------
2.3
-2 + 4. 2 1
=. -------- = ---. =---- হবে।
6. 6 3
নয়তো
-2. - 4. -6. - 1
=. ---------- =-------- =----. =-1 হবে।
6. 6. 1
26 + 22
x =. -------------
32
26 + 22
x =. -------------
32
26 + 22
x =. -------------
32
26 + 22
x =. -------------
32
(v) 3x² + 2x + 1 = 0
উঃ। 3x² + 2x + 1 = 0...........(I)
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax²+ bx + c = 0
দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 3, b = 2 এবং c = 1
.
b2 - 4ac =4 - 4.3.1
= 4 - 12 = -8
-8<0
(I) নং সমীকরণের কোনাে বাস্তব বীজ নেই।
(vi) 10x² - x - 3 = 0
উঃ। 10x² - X - 3 = 0
বা, 10x² - 6x + 5x - 3 = 0
বা, 2x(5x - 3) + 1(5x-3)=0
বা,(5x-3)(2x,+1)=0
বা,5x - 3=0 আবার 2x+1=0
বা, 5 x.=3. বা, 2x =-1
3. - 1
বা,x=-----. বা, x =----
5. , 2
10x²-x-3=0 সমীকরণটিকে ax²+bx+c দ্বিঘাত সমীকরণ সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a=10,b=-1,c=-3 শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সমাধান
________
-b ± √b² - 4ac
=. --------------------
2a
________ __
-(-1)±√4²(4.10(-3)
x=. --------------------------
2.10
_____
1±√1+120
=. --------------------
20
_____
1± √ 121
=. --------------------
20
1±11
=. ----------
20
অতএব
1+11. 12. 3
x=. ------------. =. ------. =----
20. 20. 5
অথবা
1-11. -10. -1
x=. ------------. =. ------. =----
20. 20. 3
-1 3
x=. ------. ----
3. , 5
(vii) 10x² - x + 3 = 0
উ। 10x²- x + 3 =0.............(i)
() নং সমীকরণকে ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) দ্বিঘাত সমীকরণের স
a=10, b = - 1 এবং c = 3
b - 4ac = (- 1)² - 4.10.3
=1 -120= -119
-119 <0
.(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের কোনাে বাস্তব বীজ নেই।
(viii) 25x² - 30x + 1 = 0
উ। 25x²- 30x + 7 = 0..............(I)
(I) নং দ্বিঘাত সমীরণকে ax² + bx + c = 0 (a ≠0)
দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 25, b = - 30 এবং c =7
.:. b2 - 4ac = (- 30)² - 4.25.7
=900 - 700 = 200 > 0
. (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।
-
বীজগুলি
_________
-b ± √b² - 4ac
=. --------------------
2a
____
-(-30)±√200
=. --------------------
2.25
30 ±10√2
=. --------------------
50
10(3±√2)
=. -------------
50
3±√2
=. ----------
5
3+√2
হয়. x= ----------হবে।। নয়তো
5
3-√2
x=. ---------- হবে।
5
.
(ix) (4i - 2)² + 6x = 25
উঃ। (4x - 2)² + 6x = 25
বা, (4x - 2)² + 6x - 25 = 0
বা, (4x)² - 2.4x.2. + (2)² + 6x-25=0
বা, 16x² - 16x + 4 + 6x - 25 = 0
বা, 16x² - 10x - 21 =0
শ্রী ধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী,
_________
-b ± √b² - 4ac
=. --------------------
2a
_______________
--(-10)±√(-10)-4.16.(-21)
=. -----------------------------------
2.16
_________
10 ±√100+1344
=. -------------------------
32
_____
10± √1444
=. -----------------
32
10 ± 38
=. --------------------
32
হয়
10+38 48 3
x=. ---------- = ------ =----- হবে।
32 32 2
নয়তো
10-38 -28 -7
x=. ---------- = ------ =----- হবে।
32 32 8
পরের পর্ব 2দেখো
দশম শ্রেণীর গণিত প্লেলিস্ট
কষে দেখি 1.1 প্রথম পর্ব
দ্বিতীয় পর্ব
তৃতীয় পর্ব
কষে দেখি 1.2 প্রথম পর্ব
এবং দ্বিতীয় পর্ব
কষে দেখি 1.3 mcq সহ
কষে দেখি 1.4
কষে দেখি 1.5 mcq সহ
কষে দেখি 4 mcq সহসকল অঙ্ক