class 10 math 1.5 chapter wbbse
দশম শ্রেণীর গণিত প্লেলিস্ট
কষে দেখি 1.1 প্রথম পর্ব
দ্বিতীয় পর্ব
তৃতীয় পর্ব
কষে দেখি 1.2 প্রথম পর্ব
এবং দ্বিতীয় পর্ব
কষে দেখি 1.3 mcq সহ
কষে দেখি 1.4
কষে দেখি 1.5 mcq সহ
কষে দেখি 4 mcq সহসকল অঙ্ক
 |
1.5 এর আগের পর্ব দেখুন
দশম শ্রেণীর
গণিত
কষে দেখি 1.5
দ্বিতীয় পর্ব
পরের পর্ব অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন উত্তর এবং বহু বিকল্প প্রশ্ন উত্তর m c q এখানে ক্লিক করুন
3 নিচের প্রদত্ত বীজ দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি
(i) 4, 2 (ii) - 4, - 3, -(iii) - 4, 3 (iv) 5, - 3
উঃ। (i) যে সমীকরণের বীজদ্বয় 4 ও 2 সেটি হল
x-(α +β)x + (α×β)=0
x- (4 + 2)x + (4 x 2) = 0
বা, x-6x + ৪ = 0
(i) যে সমীক্ষ্মণের বীজদ্বয় - 4 ও - 3 সেটি হল
x-(α +β)x + (α×β)=0
x- (- 4 - 3)x + (- 4) x (-3) = 0
বাx-(-1)x +12=0
বা, x + x + 12 = 0
(iii) যে সমীকরণের বীজয় ( 4) ও 3 সেটি হল
x-(α +β)x + (α×β)=0
x- (- 4 + 3)x + (- 4) x 3 = 0
বা, x + x - 12 = 0
(v) যে সমীকরণের বীজদ্বয় 5 ও (- 3) সেটি হল
x-(α +β)x + (α×β)=0
x- (5 - 3)x + 5(- 3) = 0
ব, x- 2x - 15 = 0
4, m-এর মান কত হলে
4x² + 4(3m -1)x + (m + 7)=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অনোন্যক হবে।
উঃ। 4x² + 4(3m - 1)x + (m + 7) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অনোন্যক হলে
(m -+7) = 4
বা, m = - 3
.. m-এর মান-3 হবে।
5. (b - c)x² + (c - a)x + (a + b) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সুমন হলে প্রমাণ করি যে, 2b=a + c
উঃ। (b - c)x² + (c - a)x + (a – b) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় এর সমান হলে নিরুপক শূন্য হইবে
. অর্থাৎb²-4ac = 0
a= (b-c)
b=(c-a)
c= (-a-b)
অতএব(c - a)² - 4(b - c)(a – b) = 0
বা, c² - 2ac + a² - 4ab + 4ac + 4b² - 4bc = 0
বা, 4b²+ a² + c² - 4ab - 4bc + 2ac
বা, (a² + 2ac + c²) - 2.(a + c).2b + (2b)² = 0
বা, (a + c)² - 2.(a + c) 2b + (2b)² = 0
বা, (a + c - 2b)² = 0
বা, (a + c - 2b) = 0
বা, a + c = 2b
অর্থাৎ 2b = a + c (প্রমাণিত)
6.(a² + b²)x - 2(ac + bd)x + (c² + d²) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে,
a c
প্রমাণ করি যে,----=----
b. d
উঃ। .(a² + b²)x - 2(ac + bd)x + (c² + d²)= 0 সমীকরণের বীজ সমান হইলে নিরূপক শূন্য হবে
অর্থাৎb²-4ac = 0
a= (a²+b²)
b= -2(ac+bd)
c= (c²+d²)
অতএব{- 2(ac+bd)}²-4.(a²+b²) (c²+d²)=0
বা, a²c² + abcd + b²d²- a²c²- b²c² -
a²d²- b²d²
বা, a²b² - abcd + b²c² = 0
বা,(ad-bc)²=0
বা, ad - bc = 0 বা, ad = bc
.
a c
বা,. ----=----
b. d = (প্রমাণিত)
7.প্রমাণ করি যে 2(a + b)x³+ 2(a + b)x + 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের কোনাে বাস্তব বীজ² থাকবে না যদিa ≠ b হয়।
উঃ। 2(a² + b²)x² + 2(a + b)x + 1 = 0 সমীকরণের নিরূপক 0 হইবে
অর্থাৎb²-4ac = 0
a= 2(a²+b²)
b= -2(a+b)
c= 1
={2(a + b)}²- 4.2.(a2 + b2).1
={4(a² + b² + 2ab - 2a² - 2b²)
=4(- a² + 2ab - b²)
=–4(a² - 2ab + b²)
= –4(a – b)2 < 0 [ a ± b)
. সমীকরণটির কোন বাস্তব বীজ থাকবে না। (প্রমাণিত)
৪. 5x² + 2x - 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,
1 1 α² β²
(i) α²+β² (ii) c³+β³(iii) --- + --(iv )-- + ---
α. β β. α
-এর মান নির্ণয় করি।
উঃ। 5x² + 2x - 3 = 0 সমীকরণের দুটি বীজ
α. ও β হইলে.
2. -3
α +.β = – ---- এবং α × β = ----
5 5
(i) α²+β² = (α+β)² -2.α.β
-2. ) ² -3
= ( ---. ). – 2. = ----
5 ) 5
4 6. 4+30. 34
= – ---- + ---- =------------. = ----
25 5. 25. 25
(ii) c³ + β²
=(α+β)³ -3.α.β (α+β)
( 2 )³ 3. 2.
=( – ) -3 (- ----)(- -----)
( 5 ) 5. 5.
-8 18 - 8-90 -98
= – ---- - ---- =------------. = ----
1 25 5. 1 25. 125
2
- ----
1 1 . .β +.α. 5 2
(iii) --- + -- = --------- =-----. =----
α. β .α.β. 3. 3
- -----
5
,
α² β²
(iv )-- + ---
β. α
..α³+.β³ (α. + β)²-3αβ(α +.β)
=. --------- = ----------------------------
.α.β. α.β
98
,– ------
125 98. 5. 98
=------. =------. ×----. =-------
3 125. 3 75
--. -----
5
9. ax² + bx + c = 0 সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে, দেখাই যে,
2b²=9ac
উঃ। ধরি ax² + bx + c = 0 সমীকরণের বীজ দুটি যথাক্রমে α ও 2α
b. -b. -b
. α + 2 α = -. ----. বা, 3α =----. বা, α= ----
a. a. 3a
c. c
এবং α .2α. = ------ বা, 2α² = -----
a. a
( -b)². c
বা,2. (------) = ------
( 3a). a
b². c
বা , 2 × ------ =. ------
9a² a
বা,2b². = 9ac (প্রমাণিত)
10. যে সমীকরণের বীজগুলি x² + px + 1 = 0 সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক, সেই সমীকরণটির গঠন
উঃ। x² + px + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β হইলে α.+β =-1
- ----
1 1 . .β +.α. -p
--- + -- = --------- =-----. =-- p
α. β .α.β. 1
- ----
1 1 . . 1
--- × -- = --------- = 1
α. β .α.β
নির্ণেয় সমীকরণটি হবে x² – (- p)x + 1 = 0 বা, x² + px + 1 = 0
11. x + x + 1 = 0 সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।
উঃ। x² + x + | = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α. ও β হইলে α.+ β= -1, α.β= ।
α²+β ². = (α+.β)² =2α.β={-1)²-2.1=1-2=-1
α².β² = (α.β)² = 1
• a3 + 2 = (a + p)2 = 209 = (- 1) - 2.1 = | - 2 = - 1
q2p2 = (ap)2 = 1
.:. নির্ণেয় সমীকরণটি হবে x² - (- 1)x + 1 = 0 বা, x² + x + 1 = 0