class 10 math 1.3 chapter/ দশম শ্রেণীর গণিত কষে দেখি 1.3 সুকুল অংকের সমাধান
দশম শ্রেণী গণিত কষে দেখি 1.3 সকল প্রশ্নের উত্তর সমাধান করে দেওয়া হলো
কষে দেখি 1.2 দেখুন,
কষে দেখি 1.1 দেখুন
কষে দেখি—1.3
1. দুটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 17; সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।
উঃ। মনে করি, একটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা =x
: অপর ধনাত্মক সংখ্যাটি (x + 3) : সংখ্যা দুটির বর্গের সমষ্টি x² + (x + 3)²
প্রশ্নানুসারে, x² + (x + 3)² = 117
বা, x² + x² + 6x + 9 = 117
বা, 2x² + 6x + 9 - 117 = 0
বা, 2x² + 6x - 108 = 0
বা, x² + 3x - 54 = 0.
বা, x² + 9x - 6x - 54 = 0
বা, x(x + 9) - 6(x + 9) = 0
বা, (x + 9)(x – 6) = 0
' হয়, x + 9 = 0 বা, x = - 9
অথবা, x - 6. = 0 বা, x = 6
': সংখ্যা দুটি ধনাত্মক সুতরাং x = 6
. সংখ্যা দুটি 6 ও (6 + 3) = 9
2. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 18 মিটার বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 360 বর্গমিটার হলে তার উচ্চতা নির্ণয় করি।
উঃ। মনেকরি ত্রিভুজটির উচ্চতা x মি., ত্রিভুজটির ভূমি (2x + 18) মি.
1
: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = -----(2x + 18) × x
2
ব,মি.
1
প্রশ্নানুসারে, ---(2x + 18)x = 360
2
1
বা, ---- (2x² + 18x) = 360
2
বা, x² + 9x = 360
বা, x² + 9x - 360 = 0
বা, x² + 24x - 15x - 360 = 0
বা, x(x + 24) - 15(x + 24) = 0
বা, (x + 24)(x – 15) = 0 ..
হয়, x + 24 = 0 বা, x = - 24
অথবা, x - 15 = 0 বা, x = 15
x= - 24 গ্রহণযােগ্য নয়, কারণ উচ্চতা ঋণাত্মক নয়। .:. x = 15
ত্রিভুজটির উচ্চতা 15 মিটার।
3.যদি একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হয় তবে সংখ্যাটি নির্ণয় করি।
| মনেকরি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি x, সংখ্যাটির পাঁচগুণ = 5 × x = 5x
খ্যাটির বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম
= 2x² - 3
প্রশ্ননুসারে, 5x–2x² - 3
ব 2x² = 5x - 3 = 0
বা, 2x² – 6x + x - 3 = 0
2x(x – 3) + 1(x – 3) = 0
বা, (x – 3)(2x + 1) = 0
হয়, x = 3 = 0 বা, x = 3
বা, 2x + 1 = 0 বা, 2x = -1
1
বা, x = - -----
2
['' সংখ্যাটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা] :. x = 3
ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাটি হল 3
4. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি.; এক স্থান হতে অপর স্থানে মােটর গাড়িতে যেতে যে সময় .জিপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগে। মােটরগাড়ি অপেক্ষা জিপগাড়ির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 তিমি বেশি হলে, মােটর গাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি।
উঃ। মনেকরি, মােটর গাড়ির গতিবেগ x কিমি/ঘণ্টা
. অতএব জিপ গাড়ির গতিবেগ (x + 5) কিমি/ঘণ্টা
. 200 কিমি দূরত্ব যেতে মােটরগাড়ির সময়
200
লাগে------ ঘন্টা
x
200 কিমি দূরত্ব যেতে জিপ গাড়ির সময়
200
লাগে।-------- দিগন্ত
X+5
200. 200
প্রশ্ন অনুসারে ------ – ------ =2
x. x+5
বা: 200(x +5) -200x
------------------------= 2
x(x+5)
200x + 1000-200x,
বা------------------------- =2
x(x +5)
বা,500
-----------
x² + 5x
[উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে)।
বা, x² + 5x = 500
বা, x² + 5x - 500 = 0
বা, x² + 25x - 20x- 500 = 0
বা, x(x + 25) - 20(x + 25) = 0
বা, (x + 25)(x - 20) = 0 .:হয়, x + 25 = 0 বা, x = - 25
অথবা, x - 20 = 0 বা, x = 20
x = - 25 গ্রহণযােগ্য নয়, কারণ গতিবেগ ঋণাত্মক নয়। . x = 20
. মােটর গাড়ির গতিবেগ 20 কিমি/ঘন্টা।
5. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার। অমিতদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।
উঃ। মনেকরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x মি.
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 180 মি.
180 -2x x
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ =-------------;মি
2
. = 90 - X মি.
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = x(90 - x) বর্গমি.
প্রশ্নানুসারে, x(90 - X) = 2000
বা, 90x - x² = 2000
বা, x² - 90x + 2000 = 0
বা, x² - 50x - 40x + 2000 = 0
বা, x(x – 50) - 40(x – 50) = 0
বা, (x - 50)(x – 40) = 0
হয়, X - 50 = 0
বা, x = 50
অথবা, x - 40 = 0
বা, x = 40 .:.
x = 40 হলে প্রস্থের মান (90 - 40) = 50 মি.
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য অপেক্ষা প্রস্থ বড়াে নয়।
x = 50 আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 50 মিটার ও প্রস্থ (90 - 50) মি. = 40 মিটার।
6. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অক অপেক্ষা 3 । সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্ক দুটির গুণফল বিয়ােগ করলে বিয়ােগফল 15 হয়। সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক হিসাব করে লিখি।
উঃ। মনে করি, সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্ক = X
. দশকের ঘরের অঙ্ক = (x - 3)
সংখ্যাটি
10(x = 3) + X = 10x - 30 + X = 11x - 30
শর্তানুসারে, (x - 30) - x(x-3) = 15
বা, 11x - 30 - x2 + 3x = 15
বা, x² - 14x + 45 = 0
বা, x - 5x - 9x + 45 = 0
বা, x(x – 5) - 9(x – 5) = 0
বা, (x -5)(x - 9) = 0
হয়, X - 5 = 0, x = 5
অথবা, x - 9 = 0 .:. x = 9
সংখ্যাটির একক ঘরের অকটি 5 অথবা 9।
7. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি
1
11--- মিনিটে পূর্ণ হয়। যদি নলদুটি
9
আলাদাভাবে খােলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নল অপর নলটি থেকে 5 মিনিট বেশি সময় নেয়। প্রত্যেকটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটিকে কত সময়ে পূর্ণ করবে হিসাব করে লিখি।
উঃ। মনেকরি, প্রথম নলটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে সময় লাগে x মিনিট
দ্বিতীয় নলটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে সময় লাগে (x + 5) মিনিট
প্রথম নলটি দিয়ে 1 মিনিটে পূর্ণ হয়
1
চৌবাচ্চার ------অংশ
x
দ্বিতীয় নলটি দিয়ে 1 মিনিটে পূর্ণ হয়
1
চৌবাচ্চার ---------অংশ
X + 5
.. অতএব নল দুটি দিয়ে 1 মিনিটে পূর্ণ হয়
1. 1
চৌবাচ্চার ----. + ------ অংশ
X x+5
x+5+x
=°----------------অংশ
x(x+5)
2x+5
=-------------- অংশ
x(x+5)
1. 100
=11------ মিনিট=--------- মিনিটে পূর্ণ হয়
9. 9
(2x+5)×100
চৌবাচ্চার =----------------------- অংশ
x(x+5)×9
(2x+5)×100
প্রশ্নানুসারে,-----------------. = 1
x(x +5) x 9
বা, 9x(x + 5) = 100(2x + 5)
বা, 9x² + 45x = 200x + 500
বা, 9x² + 45x - 200x - 500 = 0
বা, 9x² - 155x - 500 = 0
বা, 9x² - 180x + 25x - 500 = 0
বা, 9x(x - 20) + 25(x - 20) = 0
বা, (x - 20) (9x + 25) = 0 ..
হয় x - 20 = 0 বা, x = 20
অথবা,9x + 25 = 0
বা, 9x = - 25
- 25
x≠-------
9
কারণ সময় ঋণাত্মক নয়। ' X = 20
চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে প্রথম নলটি দিয়ে সময় লাগে 20 মিনিট এবং দ্বিতীয় নলটি দিয়ে সময় লাগে (20 + 5) মিনিট।25 মিনিট।
8. পর্ণা ও পীযুষ কোনাে একটি কাজ একত্রে ৭ দিনে সম্পন্ন করে। আলাদাভাবে একা কাজ করলে পূর্ণার যে সময় লাগবে, পীযুষের তার চেয়ে 6 দিন বেশি সময় লাগবে। পর্ণা একাকী কতদিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে হিসাবকরে লিখি।
উঃ। মনেকরি, পর্ণা একাকী কাজটি x দিনে করতে পারবে।
. পীযুষ একাকী, কাজটি (x + 6) দিনে করতে পারবে।
. পর্ণা একাকী । দিনে করে কাজটির
1
----------অংশ
x
পীযুষ একাকী । দিনে করে কাজটির অংশ
1
--------অংশ
X + 6
পর্ণা ও পীযুষ দুজনে 1দিনে করে কাজটির
1 1
-----+---------অংশ
x x+6
4(2x + 6)
4 দিনে করে কাজটির--------------
x(x + 6)
4(2x + 6)
প্রশ্ন অনুসারে-------------- =1
x(x + 6)
বা, x² + 6x = 8x + 24
বা, x² + 6x - 8x - 24 = 0
বা, x2 - 2x - 24 = 0
বা, x - 6x + 4x – 24 = 0
বা, x(x – 6) + 4(x - 6) = 0
বা, (x–6)(x + 4) = 0
হয়, X - 6 = 0 বা, x = 6
অথবা, x + 4 = 0 বা, x = - 4
x≠ -4 কারণ ,সময় ঋণাত্মব না,
' X = 6
পর্ণা একাকী কাজটি 6 দিনে করতে পারবে।
9.কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে 30 টাকায় আরও 3 টি বেশি কলম পাওয়া যাবে। কমার পূর্বে প্রতি কলমের মূল্য নির্ণয় করি।
মনেকরি, প্রতি ডজন কলমের বর্তমান মূল্য =x টাকা
30
অতএব 30 টাকায় কম পাওয়া যায়।---ডজন
x
এর মূল্য প্রতি ডজন 6 টাকা কমলে প্রতি ডজন কলমের মূল্য হবে (x – 6) টাকা
30
30 টাকায় কলম পাওয়া যায় টাকা---- টাকা
x
30 30 3
প্রশ্ন অনুসারে------ - ------=------
x-6. x. 12
বা, 30x 30 (x-6) 1
----------------------=------
x (x.-6 ) 4
বা,
30x –30x- 180 1
--------------------------=------
x (x.-6 ) 4
বা,
180. 1
----------------------=------
x (x.-6 ) 4
,
বা, x² - 6x = 720
বা, x²– 6x – 720 = 0
বা, x² - 30x + 24x 720 = 0
বা, x(x – 30) + 24(x – 30) = 0
বা, (x - 30)(x + 24) = 0 .
হয়, x = 30 = 0 বা, x = 30
থবা, x + 24 = 0 বা, X = - 24
24 কারণ মূল্য ঋণাত্মক নয়। . x = 30
প্রতি ডজন কলমের বর্তমান মূল্য 30 টাকা।
অতিসংক্ষিপ্তধর্মী প্রশ্ন (v.S.A.)
বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i)একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা
(a) একটি (b) দুটি (c) তিনটি (d) কোনােটিই নয়
উত্তর(b)দুটি।
(ii)ax²+ bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণ হলে
(a) b ≠ 0 (b) c ≠ 0(c) a ≠ 0 (d) কোনােটিই নয়
উত্তর-(c)a≠0
(iii)একটি দ্বিঘাত সমীকরণ চলের সর্বোচ্চ ঘাত
(a) 1. (b).2 (c). 3 (d) কোনোটিই নয়
উত্তর (b) 2
(iv) 4(5x - 7x + 2) = 5(4x - 6x + 3) সমীকরণটি
(a) রৈখিক (b) দ্বিঘাত (c) ত্রিঘাত (d) কোনােটিই নয়
উঃ। (a) রৈখিক।
(v) x²
------= 6 সমীকরণটির বীজ/বীজদ্বয়া (a)
x
(a)0 (b) 6 (C) 0 ও 6 (d) - 6
উঃ। (b) 6।
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) (x - 3)2 = x2 - 6x + 9 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
উঃ। মিথ্যা।
(ii) x = 25 সমীকরণটির একটি মাত্র বীজ 5।
উঃ। মিথ্যা।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) যদি ax² + bx + c = 0 সমীকরণটির a = 0 এবং b ≠ 0 হয়, তবে সমীকরণটি একটি
উঃ। একঘাত/রৈখিক।
(i) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয়, তাহলে সমীকরণটি হলাে
উঃ। x² - 2x + 1= 0
(iii) x = 6x সমীকরণটির বীজদ্বয়
উঃ। 0, 6।
11. সংক্ষিপ্তধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) x² + ax + 3 = 0 সমীকরণের একটি বীজ । হলে, a-এর মান নির্ণয় করি।
উঃ। - x² + ax + 3 = 0 সমীকরণের একটি বীজ ।
সুতরাং, 1³ + a.1 + 3 = 0
বা, a = - 4
... a-এর মান = - 4
(ii) x² - (2 + b)x + 6 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
উঃ। x² - (2 + b)x + 6 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হইলে অপর বীজ
x² - (2 + b)x + 6 = 0
বা, 2² - (2 + b)2 + 6 = 0
বা, 4 - 4 - 2b = -6
বা, - 2b = - 6
বা, 2b = 6
b = 3
-
b-এর মান বসিয়ে পাই
x²- (2 + 3)x + 6 = 0
বা, x² – 2x = 3x + 6 = 0
বা, x(x - 2) - 3(x - 2) =
বা, (x - 2)(x – 3) = 0
হয়, X - 2 = 0 বা, X = 2
হয় X - 3 = 0 বা, x = 3
... অপর বীজটি 3
(iii) 2x² + kx + 4 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
উঃ। 2x² + kx + 4 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে অপর বীজটি
2x² + kx + 4 = 0
2.2² + k.2 = -4
k=-6 বসিয়ে পাই
2x ² - 6x + 4 = 0
বা,8+ 2k=4
বা ,2k=-4-8
বা,2k=-12
বাk=-6
বা, x²– 3x + 2 = 0
বা, x²- 2x –x + 2 = 0
বা, x(x - 2) - 1(x - 2) = 0
বা, (x - 2)(x - 1) = 0
হয়, X - 2 = 0 বা, x = 2
না হয় x – 1 = 0 বা, X = 1
... অপর বীজটি 1
.
-
[iv) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার
9
অনন্যান্যকের অন্তর-----; সমীকরণটি লিখি
20
উ। ধরি, প্রকৃত ভগাংশটি = x
1
এবং অনোন্যক টি হলো-----
x
1. 9
অতএব------- – x = ------- হইল নির্নেয়
x. 20
সমীকরণ।
(v) a² + b + 35 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় – 5 ও – 7 হলেa এবং b মান লিখি।
উঃ। ax2 + bx + 35 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় – 5 ও (–7)
c. 35
বীজদ্বয়ের গুনফল =--- =----
. a. a
35
------ (- 5)(-7) অতএব a = 1
a
b
এবং------- = (-5) + (-7) b = 12
1
শেষ 1.3 অধ্যায় শেষ হয়ে গেল অন্যান্য পর্বগুলি দেখতে লিংকে ক্লিক করুন
দশম শ্রেণীর গণিত প্লেলিস্ট
কষে দেখি 1.1 প্রথম পর্ব
দ্বিতীয় পর্ব
তৃতীয় পর্ব
কষে দেখি 1.2 প্রথম পর্ব
এবং দ্বিতীয় পর্ব কষে
দেখি 1.3 mcq সহ
কষে দেখি 1.4
কষে দেখি 1.5 mcq সহ
কষে দেখি 4 mcq সহসকল অঙ্ক