class 9 math kaoshe dekhi 15.1/ নবম শ্রেণী গণিত কষে দেখি 15.1 mcq বহু পছন্দ ভিত্তিক প্রশ্ন উত্তর সহ অধ্যায় ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজ এর পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল
 |
15.2- অধ্যায়ের অংক গুলো দেখুন
নবম শ্রেণি
গণিত
১৫ অধ্যায়
-ত্রিভুজ চতুর্ভুজ এর পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল
3। বিরাট মহাজাতি সংঘের আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4 : 3 মাঠটির চারদিকে একবার হেঁটে এলে 336 মিটার পথ অতিক্রম করা যায় মাটি ক্ষেত্রফল হিসাব করে লেখ ।
উত্তর- আয়তকার মাটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4 : 3
মনে করি সাধারণ অনুপাত =x
তাহলে মাঠটির দৈর্ঘ্য 4xমিটার । প্রস্থ 3 মিটার মাঠটির পরিসীমা
=2 (4x+3x)=2×7=14xxমিটার
শর্ত অনুসারে, 14x = 336
336
x=-------. =24
14
মাটির দৈর্ঘ্য = (4×24) মি. = 96 মি,
এবং প্রস্থ = (3 x 24) মি = 72 মিটার
মাঠ টির ক্ষেত্রফল = (96 × 72) বমি = 6912 বর্গমিটার।
4 .প্রতি বর্গমিটারে 3.50 টাকা হিসাবে সমৱদের একটি বর্গাকার জমি চাষ করতে খরচ হয় 1400 টাকা। প্রতি মিটারে
3.50 টাকা হিসাবে সমরদের জমিটির চারধারে একই উচ্চতার তার বেড়া দিতে কত খরচ হবে হিসাব করে লেখাে।
Ans -প্রতি বর্গমিটার 3.50 টাকা হিসাবে সমরাদেৱ জমিটি চাষ করতে খরচ হয় 1400 টাকা= 1400 বর্গমিটার
জমির ক্ষেত্রফল=
1400
------------ = 400 বর্গমিটার
3.50
জমিটি যেহেতু বর্গাকার
জমির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য =√400 মিটার
= 20 মিটার
বর্গাকার জমির পরিসীমা = (4 x 20) মি. = 80 মিটার
প্রতি কটার 3.50 টাকা হিসাবে জমিটি বেড়া দিতে খরচ পড়বে = (3.50 x 80) টাকা = 680 টাকা।
5. সুহাসদের আয়তকার জমির ক্ষেত্রফল 500 বর্গমিটার। জমিটির দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমালে এবং প্রস্থ 2 মিটার বাড়ালে জমিটি বর্গাকার হয়। সুতরাং হমির দৈর্ঘ্য ও প্রয হিসাব করে লেখাে।
Ans, মনের আয়তাকার জমিটির দৈর্ঘ্য x মিটার ও প্রস্থ y মিটার
শর্তনু, xy = 500. .......(¡)
আবার জ্যামিতিক দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমলে অর্থাৎ (x-3) মিটার হলে এবং প্র 2 মিটার বাড়ালে অর্থাৎ (y+2) মিটার হলে, জমিটি
বর্গাকার হবে x- 3 = y -+2
বা, x =y +5
(i) নং সমীকরনে x =y+5 বসিয়ে পাই,
y(y + 5) = 500
ব, y²+5y - 500 = 0,
বা,y²+25y- 20y - 500 = 0
বাy(y -+25)-20(y+25) = 0
বা(y +25)(y - 20) = 0
y - 20 = 0.y - 25 = 0
ব, y = 20,আবার y =-25 y এর মান ঋণাত্মক হবে না
Y=20
. X = 500 ÷20 = 25... সুহাসদের জমির দৈর্ঘ্য 25 মিটার ও প্রস্থ 20 মিটার।
6. আমাদের গ্রামে একটি বর্গাকার জমির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 300 মিটার। এই বর্গাকার জমির চারধারে একই উচ্চতা 3 ভেসিমি ছওড়া দেওয়াল দিয়ে ঘিৱৰ। হিসাব করে দেখে প্রতি 100 বর্গমিটার জমিতে 5000 টাকা হিসাবে দিওয়ালির জন্য কত খরচ পড়বে
Ans. বর্গাকার জমিটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 300 মিটার
বর্গাকার জমিটির ক্ষেত্রফল = (300)² বর্গমিটার (90000) বর্গ মিটার
বর্গাকার জমিটির চারধারে ডেসিমিটার চওড়া দেওয়াল দিয়ে ভিল্লে দেয়াল সমেত জমিটি একটি বাহুর দৈর্ঘ্য=300.6 মিটার।
. দেওয়াল সমেত জমিটির ক্ষেত্রফল = (300.6) বর্গমিটার = 90360 36 বর্গমিটার
. দেওয়ালটির ক্ষেত্রফল = 360.36 বর্গমিটার
100 বর্গমিটারে খরচ হয় 5000
5000
1 বর্গমিটারে খরচ হয় =----------=50 টাকা
100
(360.36× 50) টাকা=18018 টাকা
সুতরাং প্রতি 100 বর্গমিটার জমিতে 5000 টাকা হিসাবে দেওয়ালের জন্য গরু খরচ পড়বে 18018 টাকা।
7 রেহানাদের আয়তকার বাগানের দৈর্ঘ্য 14 মিটার এবং প্রস্থ 12 মিটার বাগানটি ভিতরে চারিদিকে সমান চওড়া একটি রাস্তা তৈরি করতে প্রতি বর্গমিটারে কুড়ি টাকা হিসাবে 1380 টাকা খরচ হলে রাস্তাটি কত চওড়া হিসাব করে লেখো।
Ans. আয়তকার বাগানটির দৈর্ঘ্য = 14 মিটাৱ এবং প্রস্থ = 12 মিটার
.. আয়তকার বাগানটির ক্ষেত্রফল = (14 x 12) বর্গমিটার = 168 বর্গমিটার
রাস্তাটি তৈরি তে প্রতি বর্গমিটারে 20 টাকা হিসাবে মোট 1380 টাকা খরচ হয়
.
1380
রাস্তাটির ক্ষেত্রফল =----------; বর্গমিটার
20
= 69 বর্গমিটার
.. রাস্তা বাদে কাগজটির ক্ষেত্রফল =99 বর্গমিটার
মনে করি রাস্তাটি x মিটার চওড়া
. রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = বাগানের ক্ষেত্রফল - রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রল
168 - - {(14 - 2x)(12 - 2x))"=69
বা,168 - (168 - 28x - 24x + 4x²)=69
বা,168 - 168 + 52x - 4x²=69
বা, 4x² – 52x + 69 = 0
বা, 4x²- 46x - 6x + 69 = 0
বা, 2x(2x -23) -3(2x - 23) = 0
বা, (2x -23)(2x - 3) = 0
... 2x -3 = 0
5 2x - 23 ≠0
বা,x=---
2
বা, x = 1.5
সুতরাং রাস্তাটি 1.5 মিটার চওড়া।
৪. 1200 বর্গসেমি ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্ৰকৰ জমির দৈর্ঘ্য 40 সেমি হলে তার কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লেখো।
Ans. আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য = 40 সেমি
এবং ক্ষেত্রফল = 1200 ৰশাসেমি
আমরা জানি, দৈর্ঘ্য x প্রস্থ = আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
40 x প্রস্থ =1200
1200
প্রস্থ =--------------
40
= 30 সেমি
. __________
আয়তক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য =√ দৈর্ঘ্য²+ প্রস্থ²
___________
= √(40)²+(30)²
_________. ______
=√1600 + 900 =√ 2500 = 50
উহার কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (50²) বসেমি = 2500 ৰর্গসেমি।
9. একটি হল ঘরের দৈর্ঘ্য 4 মিটার প্রস্থ 6 মিটার এবং উচ্চতা 4 মিটার ।ঘরে তিনটি দরজা আছে যাদের প্রত্যেকটির 1.5 মিটার ×1 মিটার এবং চারটি যারা আছে তাদের প্রত্যেকটি 1.2 মিটার ×1মিটার চার দেয়ালে প্রতি বর্গমিটারে 70 টাকা হিসাবে রঙিন কাগজ দিয়ে ঢাকতে কত খরচ হবে?
Ans. হল ঘরটির দৈর্ঘ্য
4 মি., প্রস্থ = 6 মি. এবং উচ্চতা
= 4 মি.
. ঘরটির জানালা দরজা সমেত চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = 2 x (দৈর্ঘ্য + প্রথ) x উচ্চতা
= 2 x (4 + 6) x 4 বর্গমিটার = 80 বর্গনি
আবার 3 টি দরজার ক্ষেত্রফল
= (3 x 1.5 x 1) বর্গমিটার = 4.5 বর্গমিটার
এবং 4 টি জানালার ক্ষেত্রফল
# (4 x 1.2 x 1) বর্গমিটার = 4.8 বর্গমিটার
. জানালা দরজা বাদে ঘরটির চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল
{(80 – (4.5 + 4.8)} বর্গমিটার
= 80 – 9.3 বর্গমিটার = 70.7 বর্গমিটার
. ঘরটির চার দেওয়াল রঙিন কাগজ দিয়ে ঢাকতে খরচ পড়বে = (70.7 x 70) টাকা = 4949 টাকা।
10. একটি ঘরের চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল 42 বর্গমিটার এবং মেঝের ক্ষেত্রফল 12 বর্গমিটার। ঘরটি দৈর্ঘ্য 4 মিটার হলে ঘরটির উচ্চতা হিসাব করে লেখাে।
Ans. ঘরটির মেঝের ক্ষেত্রফল =12 বর্গমিটার
দৈর্ঘ্য = 4 মিটার।
12
.', প্রস্থ= --------মিটার।
4
= 3 মিটার।
আবার ঘরটির চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল =
42 বর্গমিটার
শর্তানুযায়ী, 2 x (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) x উচ্চতা= 42
বা, 2 x (4 + 3) x উচ্চতা = 42
42
বা, উচ্চতা = ------=3
14
সুতরাং ঘরটির উচ্চতা 3 মিটার।
11. সুজাতা 84 বর্গসেমি ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট আয়তাকার কাগজে একটি ছবি আঁকবে। কাগজটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অন্তর 5সেমি। সুজাতার কাগজটির পরিসীমা কত?
Ans. মনেকরি কাগজটির প্রস্থ = x সেমি
: কাগজটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অন্তর 5 সেমি
কাগজটির দৈর্ঘ্য = (x + 5) সেমি
শর্তানুযায়ী, x(x + 5) = 84
বা, x² + 5x – 84 = 0
বা, x² + 12x -7x - 84 = 0
বা, x(x + 12) – 7(x + 12) = 0
বা, (x + 12)(x – 7) = 0
..X-7=0
x + 12 ≠ 0
যেহেতু প্রস্থ ঋণাত্মক হতে পারে না।
..x–7=0
বা, x=7
দৈর্ঘ্য = 7+ 5 = 12 সেমি।
| কাগজটির পরিসীমা = 2 x (12 + 7) সেমি = 38 সেমি।
12. সিরাজদের বর্গাকার বাগানের বাইরের চারদিকে 2.5 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল 165 বর্গমিটার
বাগানটির ক্ষেত্রফল এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য হিসাব কর। (√2 = 1.414)।
a, "মকেরি সিরাজদের বর্গাকার বাগানের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = x মি.।
তবর্গকের বাগানের চারপাশে 2.5 মিটার চওড়া রাস্তা আছে ।
তা বাস্তসহ বাগানের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য =
x + (2 x 2.5) মি. = (x + 5) মিটার।
. শর্তানুযায়ী, (x + 5)² - x² = 165
বা, x² + 10x + 25 - x²= 165
বা, 10x = 165-25
বা 10x=140
140
বা, x =-------
10
বা, x = 14
. বাগানটির ক্ষেত্রফল = (14)² বর্গমিটার = 196 বর্গমিটার
... কর্ণের দৈর্ঘ্য
√2 x 14 মিটার = 1.414 x 14 মিটার = 19.796 মিটার।
সুতরাং বাগানটির ক্ষেত্রফল 196 বর্গমিটার এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য 19.796 মিটার।
13. যে বর্গাকার জমির কর্ণের দৈর্ঘ্য 20√2 মিটার তার চারধার পাঁচিল দিয়ে ঘিরতে কত মিটার দৈর্ঘ্যের পাঁচিল দিতে হবে হিসাব করে লেখাে। প্রতি বর্গমিটারে 20 টাকা হিসাবে ঘাস বসাতে কত খরচ হবে হিসাব করে লেখ।
Ans. বর্গাকার জমিটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = 20√2 মিটার
মনে করি জমিটির বাহুর দৈর্ঘ্য=a মিটার
a√2. =20√2
বা, a = 20
.. জমিটির পরিসীমা = (4 x 20) মিটার = 80 মিটার
এবং-জমিটির ক্ষেত্রফল = (20)² বর্গমিটার
= 400 বর্গমিটার
.. প্রতি বর্গমিটারে 20 টাকা হিসাবে ঘাস বসাতে খরচ পড়বে (20 x 400) টাকা
= 8000 টাকা
সুতরাং জমিটির চারধার পাঁচিল দিতে 80 মিটার দৈর্ঘ্যের পাঁচিল দিতে হবে এবং জমিটিতে ঘাস বসাতে 8000 টাকা ।
পড়বে।
14, আমাদের আয়তাকার বাগানের একটি কর্ণ বরাবর একটি বেড়া দেব। আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 12 মিটার ও 7 মিটার হলে বেড়ার দৈর্ঘ্য হিসাব করে লেখাে। বেড়াটি আয়তাকার বাগানকে যে দুটি ত্রিভূজে ভাগ করে তার পরিসীমা লেখ।
Ans. আয়তাকার বাগানটির দৈর্ঘ্য 12 মিটার এবং প্রস্থ = 7 মিটার
___________
উহার কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(12)² + (7)²
_________. ___
=√ 144 + 49 = √193 মিটার
... ত্রিভুজ দুটির প্রত্যেকটির পরিসীমা
____. ___"_
= (12 +7+ √193 ) মিটার = (19 +√ 193 ) মিটার. _____
সুতরাং বেড়াটির দৈর্ঘ্য √193 মিটার
এবং বেড়াটি আয়তাকার বাগানকে যে দুটি ত্রিভুজে ভাগ করবে তার পরিসীমা
____
(19 + √193 ) মিটার।
(15) মৌসুমীদের বাড়ির আয়তাকার বড় হলঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 9 ; 5 এবং পরিসীমা 140 মিটার মৌসুমীরা হলঘরের মেঝেতে 25 সেমি x 20 সেমি আকারের আয়তাকার টালি বসাতে চায়। প্রতি 100 টালির দাম 500 টাকা হলে, মৌসুমীদের হলঘরের মেঝেতে টালি বসাতে কত খরচ হবে হিসাব কর।
Ans. মনেকরি সাধারণ অনুপাত =x
হলঘবটির দৈর্ঘ্য 9x মিটার এবং প্রস্থ 5x মিটার
হলঘরটির পরিসীমা = 2 x (9x + 5x) মিটার = 28x মিটার
শর্তানুযায়ী, 28x = 140
বা, x = 5
., হলঘরের দৈর্ঘ্য (9 x 5) মিটার = 45 মিটার = 4500 সেমি.
হলঘরের প্রস্থ = (5 x 5) মিটার = 25 মিটার = 2500 সেমি.
. হলঘরটির ক্ষেত্রফল = (4500 x 2500) বর্গসেমি.
.| টি টালির ক্ষেত্রফল =(25 x 20) বর্গ সেমি
4500×2500
হলঘরে টালি লাগবে------------ -
20 × 25
=22500টি
100 টালির দাম 500 টাকা
500
1 " " -------- টাকা
100
500
22500 " " -------- × 22500 টাকা
100
=1,12,500 টাকা।
16. 18 মিটার দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি বড়াে হলঘরে। কার্গেট দিয়ে মুড়তে 2160 টাকা খরচ হয়। যদি হলঘরের প্রস্থ 4 মিটার কম হতাে তাহলে 1620 টাকা খরচ হতাে। হলঘরের ক্ষেত্রফল হিসাব কর।
Ans. হলঘরটির দৈর্ঘ্য 18 মিটার।
মনেকরি হলঘরটির প্রস্থ = x মিটার
ক্ষেত্রফল= 18×x=18x
18x বর্গমিটার কার্পেট মুড়তে খরচ হয় 2160 টাকা
আবার যদি প্রস্থ 4 মিটার কম হয় অর্থাৎ প্রথা (x – 4) মিটার হলে ক্ষেত্রফল হত
= 18 x (x – 4) বর্গমিটার
(18x - 72) বর্গমিটারে খরচ হতো 1620 টাকা।
সুতরাং, 18x -(18x -72) বর্গমিটার খরচ হয় = 2160 – 1620টাকা।
18x–18x+72 বর্গমিটারে খরচ হয় 540টাকা
অর্থাৎ 72 বর্গমিটারে খরচ হয় = 540 টাকা
সুতরাং540 টাকা খরচ হয় 72 বর্গমিটারে
72
1. ". ". " ----------- বর্গমিটারে
540
72 ×2160
2160 ". ". " ----------- বর্গমিটারে
540
= 288 বর্গমিটারে
সুতরাং হলঘরটির ক্ষেত্রফল 288 বর্গমিটার।
17. একটি আয়তকার জমির কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অন্তর 3 মিটার। জমিটির পরিসীম।ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
Ans. মনেকরি আয়তাকার জমির প্রস্থ x মিটার
x
.:. আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য = (x + 3) মিটার
___________
শর্তানুযায়ী,√ x²+ (x + 3)² = 15
বা, x² + (x + 3)² = 225
বা, x² + x² + 6x + 9 = 226
বা, 2x² + 6x -.216 = 0
বা, x² + 3x - 108 == 0
ব, x²+ 129, – 9x -- 108 = 0
বা, x(x +12) – 9(x + 12) = 0
বা, (x + 12)(x – 9) = 0
(x–9)=0. x+12=0
ব, = 9. x =–12
' প্রস্থ ঋনাত্মক হতে পারে না।
জমিটির প্রস্থ 9 মিটার এবং দৈর্ঘ্য 12 মিটার।
জমিরি পরিসীমা 2 (9 + 12) মিটার
= 42 মিটার
জমিটির ক্ষেত্রফল = (9 x 12) বর্গমিটার = 108 বর্গমিটার
সতরাং জমিটির পরিসীমা 42 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 108 বর্গমিটার।
18. 345 মিটার * 60 মিটার পরিমাপের একটি অত্যকার চাতাল পাকা করতে সর্ববৃহৎ কত মাপের বর্গাকার টাইল ৰাৰহার করা যাবে এবং সেক্ষেত্রে টাইললের সংখ্যা কত হবে?
Ans. 385 মিটার = 60 মিটার পরিমাপের চাতালটি পাকা করতে) সর্ববৃহৎ যে মাপের বর্গাকার টাইলস ব্যবহার করা যাবে
সেটি হল 385 এবং 60 এর গ.সা.গু
60 )385 (6
-. 360
---------
25 ) 60 (2
– 50
-------------
10 ) 25 (2
–20
-------------------
5 )10 (2
– 10
-------
সুতরাং সর্ববৃহৎ 5 মি. x 5 মি. আকারের বর্গাকার টাইলস ব্যবহার ব্যবহার করা যাবে যাবে।
385×60.
, টাইলসের সংখ্যা =. ----------------
5 × 5
=924
সুতরাং চাতালটি পাকা করতে সর্ববৃহৎ 5 মিটার * 5 মিটার মাপের বর্গাকার টাইলস ব্যবহার করা যাবে এবং সেক্ষেত্রে
“ইলসের সংখ্যা 924 টি হবে।
19, বহু পছন্দ ভিত্তিক প্রশ্ন (M.C.Q)
(G) একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 122 সেমি। বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল
(a) 288 বর্গসেমি (b) 144 বর্গসেমি (c) 72 বর্গসেমি (d) 18 বর্গসেমি
Ans. বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 12√2 সেমি
12√2
বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য=------------ সেমি
√ 2
= 12 সেমি
. বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (12)²বর্গসেমি = 144 বর্গসেমি
[Ans.-(b)]
(i) যদি একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল A, একক এবং ওই বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্ৰকল B বর্গএকক হয়, তাহলে A: :B হবে
(a) 1 : 2 (b) 2 : 1 (c) 1:4 (d) 4 : 1
Ans. মনেকরি বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য a
বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = a²
শর্তানুযায়ী, a² = A|
বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 a
. কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (√2a)² = 2a²
. 2a² = B
.:. A,:B, = a² : 2a²
= 1: 2 [Ans. (a)].
(iii) 6 মিটার লম্বা ও 4 মিটার চওড়া একটি আয়তকার জায়গা 2 ডেসিমি. বর্গ টালি দিয়ে বাঁধাতে হলে টালি লাগবে
[a) 1200 (b) 2400 (c) 600 (d) 1800
Ans. আয়তাকা জায়গাটির ক্ষেত্রফল = (6 x 4) বর্গমিটার = 24 বর্গমিটার
= 2400 বর্গ ডেসিমিটার
2400
. টালির সংখ্যা---------
2 × 2
= 600 টি [Ans. c)]
..
(¡v) সুমন পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র এবং একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে S এবং R হলে
(a) S = R (b) S > R (c) S< R
Ans. মনেকরি বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য x
এবং আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = a বা, প্রস্থ = b
শর্তানুযায়ী, 4x = 2 x (a + b)
আবার x² = S....(I)
বা, ab = R ...........(ii)
এখন 4x = 2 x (a + b)
বা, 2x = a + b
বা, (2x)² =( a + b)² উভয়পক্ষকে বর্গ করিয়া
বা, 4x² = (a + b)²
বা, 4x² = a² + b² + 2ab
বা, 4S = a² + b²+ 2R [(i) ও (i) নং হতে।
বা, 4S = a² + b² - 2ab + 2ab + 2R
বা, 4S = (a – b)² + 2R + 2R
বা, 4S - 4R = (a – b)²
=4S - 4R > 0 [.' (a – b)² > 0]
... 4S> 4R.
বা, S > R [Ans.-(b)]
(v) একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 10 সেমি এবং ক্ষেত্রফল 62.5 বর্গসেনি হলে আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের
(a) 12 সেমি (b) 15 সেমি (c) 20 সেমি (d) 25 সেমি
Ans. মনেকরি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = x সেমি এবং প্রস্থ = y সেমি
___________
√{ x² + y²)= 10. আবার xy = 62.5
বা, x²+ y² = 100
বা, (x+ y)²+ 2xy = 100 + (62.5) × 2
বা, (x + y)² = 100 + 125
বা, (x + y)² = 225
বা, x + y = √225
বা, x + y = 15 [Ans.-(b)]
20. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন
(i) একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি করলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
Ans. মনেকরি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x একক।
বাহুর দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি পেলে বাহুর দৈর্ঘ্য হবে
110x
------- একক।
100
বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল হবে
(110x)²
---------) একক।
(100 )
বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি হবে
(110x)²
(---------). - x² একক।
(100 )
121x²
---------. - x² একক।
100
121x². - 100x²
---------------------- একক।
100
21x²
---------. একক।
100
21x²
x² বৃদ্ধি পায়. ----------
100
21x²
1. বৃদ্ধি পায় . ----------
100 ×x²
21x²×100
100 বৃদ্ধি পায় . ----------------- =21
100 ×x
বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 21% বৃদ্ধি পাবে।
(ii) একটি আয়তক্ষেত্রের দৈঘ্য 10% বৃদ্ধি এবং প্রস্থেT0% হ্রাস করা হলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি বা হ্রাস পাবে।
Ans. ক্ষেত্রফল শতকরা হ্রাস পাৰে
10 ×10
=--------------%=1%
100
সুতরাং 1%ক্ষেত্রফল হ্রাস পাবে।
(iii) একটি আয়াতক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 5 সেমি। কদ্বয়ের ছেদবিন্দু থেকে আয়তক্ষেত্রের একটি প্রথের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য 2 সেমি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থের দৈর্ঘ্য কত?
উত্তর
মনে করি আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থের দৈর্ঘ্য x সেমি
আবার কর্ণদ্বয় ছেদবিন্দুতে 0থেকে প্রস্থের উপর লম্ব দূরত্ব সমান 2 সেমি
. উহার দৈর্ঘ্য = 2 x OD = 2 x 2 = 4 সেমি
শর্তানুযায়ী,
____________
√{(4)² + x²=5
, 16 + x² = 25
বা, x² = 25-16
বা, x²= 9
বা, x=√9
বা,x=3
. আয়তক্ষেত্রের প্রস্থের দৈর্ঘ্য 3 সেমি।
(iv) একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু থেকে তার যেকোনাে বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 2√2 সেমি হলে বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
Ans. কর্ণয়ের ছেদবিন্দু থেকে তার যেকোনাে বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 2√2 সেমি।
বর্গক্ষেত্রটির প্রতিটি কর্ণের দৈর্ঘ্য
= (2 x 2√2 ) সেমি
=4√2 সেমি
. বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য
=√2 x একটি বাহুর দৈর্ঘ্য
(√2 x 4√2) সেমি
= ৪ সেমি
বর্গক্ষেত্রটির প্রতিটি বর্ণের দৈর্ঘ্য ৪ সেমি।
(v) একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 34 সেমি এবং ক্ষেত্রফল 60 বর্গসেমি। আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি কর্ণের দৈর্ঘ্য কত
Ans. মনেকরি আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য x সেমি ও প্রথy সেমি।
. উহার ক্ষেত্রফল xy = 60...(I)
এবং উহার পরিসীমা 2 (x + y) = 34
বা, x+y = 17
বা, x + y + 2xy = 289
বা, x² + y² = 289 – 2 x 60
বা, x² + y² = 289 - 120
বা, x² + y² = 169
আয়তক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য
_______
= √x² + y²
____
=√169
= 13
আয়তক্ষেত্রটির প্রতিটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 সেমি।
পরের অধ্যায়15.2 দেখুন এই লিংকে ক্লিক করে
সমাপ্ত