নবম শ্রেণী গণিত কষে দেখি 20 সমাধান স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল /class 9 math 20 chapter
 |
স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
গণিত সমাধান
কযে দেখি- 20
1. নীচের শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল প্রতি ক্ষেত্রে নির্ণয় কর ঃ
(i) (2, - 2), (4, 2) এবং (– 1, 3)
(ii) (8, 9), (2, 6) এবং (9, 2)
(iii) (1, 2), (3, 0) এবং মূল বিন্দু
(i) ( 2, - 2), (4, 2) এবং (– 1, 3) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
-
= ½12(2 - 3) + 4(3 + 2) – 1(– 2 – 2) | বৰ্গএকক = 21 - 2 + 20 + 4 | বর্গএকক
= 11 বর্গএকক
(ii) (8, 9), (2, 6) এবং (9, 2) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
Ans.
½ [ 8 (6 - 2) + 2(2 – 9) + 99 – 6) ] বর্গএকক
= ½ [ 8 × 4 + 2(– 7) + 9 × 3 ] বর্গএকক
½ [32 – 14 + 27 】 বর্গএকক
1.
= ----. 45 বর্গএকক ==22½বর্গএকক
2
(iii) (1, 2), (3, 0) এবং (0, 0) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
Ans.
½ [ 1 (0 - 0) + 3 (0 - 2) + 0(2 – 0) ] বৰ্গএকক
= ½ [0 - 6 + 0 ] বর্গএকক = 3 বর্গএকক
2. প্রমাণ করো যে, (3, - 2), (– 5, 4) এবং (− 1, 1) বিন্দু তিনটি সমরেখ।
Ans. ( 3, - 2), (– 5, 4) এবং (– 1, 1) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
Ans.
½ [3(4 – 1) – 5(1 + 2) + 1(– 2 – 4) ]
বর্গএকক
=½ [8-15+6] বর্গএকক =0
. (3, - 2), (– 5, 4) এবং (– 1, 1) বিন্দুতিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 0 । সুতরাং বিন্দুতিনটি সমরেখ।
3. K-এর মান কত হলে (1, – 1), (2, – 1) এবং (K, – 1) বিন্দুত্রয় একই সরলরেখায় থাকবে হিসাব করে লিখো।
Ans. (1, − 1), (2, – 1) এবং (K, +৮.1) শিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= ½ [1(-1 + 1) + 2 – 1 + 1) + K(− 1 + 1) ] বর্গএকক
= ½ [0+0+ 0 ] বর্গএকক
= 0 বর্গএকক
সুতরাং, K-এর যেকোনো বাস্তব মান এর জন্য বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় থাকবে।
4. প্রমাণ কর যে (1, 2) এবং (– 2, – 4) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা মূল বিন্দুগামী।
Ans. যদি (1, 2) এবং (– 2, – 4) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা মূলবিন্দুগামী হয় তাহলে (1, 2), (0, 0) এবং ( 2,
- 4) বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে।
এখন, (1, 2), (0, 0) এবং (– 2, – 4) বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
=
½ [1(0 + 4) + 0 - 2(2 - 0) ] বৰ্গএকক
= ½[4 + 0 – 4 | বর্গএকক
= 0 বর্গএকক
যেহেতু (1, 2), (0, 0) এবং (– 2, – 4) বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 0.
সুতরাং (1, 2) এবং (-2, - 4) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা মূলবিন্দুগামী।
5. প্রমাণ কর যে (2, 1) এবং (6, 5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু (– 4, – 5) ও (9, 8) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের উপর অবস্থিত।
Ans. (2, 1) এবং (6, 5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
2+6 1+5
=. -----------. , ---------- = (4,3)
2. 2 2
এখন (− 4, – 5), (4, 3) এবং (9, 8) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= ½ [-4(3 - 8) + 4 (8 + 5) + 9(– 5 – 3) ] বর্গএকক
= ½ [20 + 52 – 72 ]বর্গএকক
= 0 বর্গএকক
যেহেতু (– 4, – 5), (4, 3) এবং (9, 8) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 0.
সুতরাং (4, 3) বিন্দুটি অর্থাৎ (2,1) এবং
(6, 5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু ( 4, 5) 3 (9, 8) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের উপর অবস্থিত।
6. নীচের প্রতিক্ষেত্রে প্রদত্ত বিন্দু চারটির সংযোগে গঠিত চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর-
(i) (1, 1), (3, 4), (5,-2), (4, - 7) (ii) (1, 4), (-2, 1), (2, -3), (3, 3)
Ans. (i)
এখন (1, 1), (3, 4), (5, – 2) এবং (4, – 7) বিন্দু চারটির সংযোগে গঠিত চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
-
∆ABD এবং ক্ষেত্রফল + ∆BCD-এর ক্ষেত্রফল
=½[(4 + 7) + 3(−7 − 1) + 4(1-4)]
+ ½ [3(-2+ 7) + 5(-7- 4) + 4(4 + 2) ]
-=½[11-24 - 12]+ ½[ 15 – 55 + 24 ] বৰ্গএকক
-=½ [ 25 + 16 ]বর্গ একক
25. 16
= ----- +. ----- বর্গএকক
2. 2
25 +16
= ---------. বর্গএকক
2.
41
= ----. বর্গএকক
2.
1
=20 ----বর্গএকক
2
(ii) (1, 4), (-2, 1), (2,
3), (3, 3)
Ans. (1, 4), (– 2, 1), (2, – 3) এবং (3, 3) বিন্দু চারটি দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল
= ∆ABD-এর ক্ষেত্রফল + ∆BCD-এর ক্ষেত্রফল
=½[1(1-3) -2(3-4) + 3(4-1)]
+½[-2(-3-3) + 2(3 − 1) + 3(1 + 3) ])
বৰ্গএকক
= ½[-2+2+9] + ½[12 + 4 + 12 ] বৰ্গএকক
-=½ [ 9 + 28 ]বর্গ একক
9 28
= ----- +. ----- বর্গএকক
2. 2
9+28
= ----. বর্গএকক
2.
37
= ----. বর্গএকক
2.
1
=18 ----বর্গএকক
2
7. A, B, C বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (3, 4), (– 4, 3) এবং (8, – 6); ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। এবং A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
Ans. A ( 3, 4), B ( 4, 3) ও C(8, - 6) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
½ [3(3 + 6) - 4(– 6 - 4) + 8(4 – 3) ] বর্গএকক
-
=½ [27 + 40 + 8 ] বর্গএকক
-
-=½ [ 67+ 8 ]বর্গ একক
67 8
= ----- +. ----- বর্গএকক
2. 2
67+8
= ----. বর্গএকক
2.
75
= ----. বর্গএকক
2.
= 37.5 বর্গএকক
BC বাহুর দৈর্ঘ্য
____________________
= √(– 4 –8)² + (3+6)² একক
_________.
= √ 144 +81.একক
______
=√ 225 একক
=15 একক
আবার AABC-এর ক্ষেত্রফল
= ½ × BC ,×AD
75
বা, ½× 15 ×AD = ------
2
75 ×2
বা, AD = ----------
15×2
বা, AD = 3
অথএব , ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 37.5 বর্গএকক এবং A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য 3 একক।
8. ABC ত্রিভুজের A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 5) এবং ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (– 2, 1) হলে BC বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
Ans. মনেকরি BC বাহুর মধ্যবিন্দু D-এর স্থানাঙ্ক (x,y)
আমরা জানি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
:: শর্তানুযায়ী, এবং
2x + 1 × 2 2y + 1 × 5
-------------- =–2 -------------- = 1
2+1 . 2+1
বা, 2x + 2 = - 6 বা, 2y + 5 = 3
বা, 2x = – 8 বা, 2y = - 2
বা, x = - 4 বা, y = - 1
:: BC বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (– 4, – 1 )
9. একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, - 3), (– 5, 2) এবং (x, y) যদি ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র মূলবিন্দু হয়
তাহলে x ও y-এর মান নির্ণয় কর।
Ans. মনেকরি D, AB-এর মধ্যবিন্দু।
4–5 –3+2
D বিন্দুর স্থানাঙ্ক ---------- , --------
2 2
1 1
= – -----, – -----
2 2
আমরা জানি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র 2 : 1 অনুপাতে মধ্যমাকে অন্তর্বিভক্ত করে।
:: শর্তানুযায়ী,
2(½ )+1(x), 2(½ )+1(y),
----------- =0. ----------------- =0.
2+1 2+1
বা, - 1 + x = 0. বা, - 1 + y = 0.
বা, x = 1. বা, y = 1
সুতরাং x ও y-এর মান (1, 1)
Ans. 3 + 4. 1 +7
. D বিন্দুর স্থানাঙ্ক = ---------. ,. -------= (4,4)
2. 2
5–1. 7–2
. E বিন্দুর স্থানাঙ্ক = ---------. ,. -------= (2,6)
2. 2
–1+3. 5+1
. F বিন্দুর স্থানাঙ্ক = ---------. ,. -------= (1,3)
2. 2
এখন ADEF-এর ক্ষেত্রফল
1
= ---- 4(6 - 3) + 2(3–4) + 1 (4 -6)
2
বর্গএকক
1
= ----- 12 - 2 - 2 বর্গএকক
2
1
= ----- 12 - 4 বৰ্গএকক
2
1
= ----- ×8 বৰ্গএকক = 4 বর্গএকক
2
আবার AABC-এর ক্ষেত্রফল
1
= ---- –1(1 - 7) + 3(7–5) + 5 (5 -1)
2
বর্গএকক
1
= ----- 6 + 6 +20 বর্গএকক
2
1
= ----- 12 +20 বৰ্গএকক
2
1
= ----- ×32 বৰ্গএকক = 16বর্গএকক
2
∆ABC = 4 ∆ DEF
16. = 4 ×4
16. =16
পরের পর্ব দেখে নিন