অষ্টম শ্রেণীর গণিত কষে দেখি 1.2 সমাধান class 8 math 1.2 chapter solution
কষে দেখি 5.3 অংকের সমাধান দেখুন
অষ্টম শ্রেণীর গণিত
কষে দেখি 1.2 সমাধান
কষে দেখি--1.2
1. নীচের প্রত্যেকটির n-তম (n ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা) সজ্জায় প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা লিখি : (নিজে করো। পৃষ্ঠা-11তে পেয়ে যাবে।)
2. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য (4y + 2) সেমি হলে ত্রিভুজটির পরিসীমা লিখি।
উ:। ত্রিভুজের পরিসীমা=3×বাহুর দৈর্ঘ্য
ত্রিভুজের পরিসীমা =3× (4y + 2)
= (12y + 6) সেমি।
3. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (8x + 3y) সেমি এবং প্রস্থ (8x−3y) সেমি.। ওই আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল লিখি।
উ:। ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য x প্রস্থ
= (8x + 3y) (8x − 3y) বর্গসেমি
= (8x)² – (3y)²
= (64x² – 9y²) বর্গসেমি
4. বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য (3m – 4) মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত হবে m-এর মাধ্যমে লিখি। m-এর মান কত হলে এই বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 8মিটার হবে হিসাব করে লিখি।
উ:। বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য
= (3m – 4) মি
.. ক্ষেত্রফল = বাহু²
ক্ষেত্রফল (3m – 4)² বর্গমি.
=(3m)² - 2 .3m.4 +(4)² বর্গমি
= (9m² – 24m + 16) বর্গমি.
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা =4× বাহু
:. 4 (3m -4 ) = 8
বা,12m-16= 8,
বা, 12m =8 + 16
বা, 12 m = 24
24
বা, m = ------- =2
12
= 2 মিটার
mএর মান 2 হলে এই বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪ মিটার হবে।
7. সরল করি :
(i) (a – b) + (b - c) + (c - a)
=(a – b + b - c + c - a
=0 উত্তর(সব কাটাকাটি হবে)
-
(ii) (a + b) (a – b) + (b + c) (b - c) +
(c + a) (c - a)
=a² - b² + b² - c² + ¢² - a²
=0 উত্তর(সব কাটাকাটি হবে)
x y. y x
(iii) x² [ --- – --- ] ×. [ --- × --] × y ²
y x x y
( x² - y² ) ( y² + x² )
= x² ---------- × ----------- × y²
xy xy
x. x
= --- ( x² - y² ) × ( y² + x² ) --
y y
= x⁴. - y⁴ উ:।
(iv) a (b - c) + b (c – a) + c (a – b)
= ab-ac + bd - ab + ¢a – bd
= 0 উ:।
(v) x² (y² - z²) + y²(z² - x²) + z²(x² - y²)
= x²y² - x ²z² + y² z² - x² y ² + z²x² –y ²z²
= 0 উঃ।
-
(vi) (x³+y³) (x³ – y³) + (y³ + z³) (y³ – z³) + (z³ + x³) (z³ – x³ )
-
= x 6 – y6+ y6 – z6 + z6 – x 6 = 0 উ: ।
এখানে 6 পাওয়ারে বসবে একটু বড় হয়ে গেছে ছোট করে লেখা হবে।
=0 উত্তর(সব কাটাকাটি হবে।)
8. (a + b)²= a² + 2ab + b²
এবং (a – b)² = a² - 2ab + b²
—এই অভেদগুলি ব্যবহার করে নীচের সংখ্যামালাগুলির বর্গ করি।
(i) 5x - 2y
(ii) 7 + 2m
(iii) x + y + z
উত্তর। (i) 5x – 2y-এর বর্গ
= (5x - 2y) ²
= (5x)² - 2 .5x .2y +(2y)²
= 25x² -20xy + 4y² (উত্তর)
-
(ii) 7 + 2m-এর বর্গ
= (7 + 2m)²
= (7)² + 2.7.2m + (2m)²
= 49 + 28m + 4m² উ:।
(iii) x + y + z -এর বর্গ
= (x + y + z)²
= {(x+y)+z}²=(x + y)² + 2 (x + y). z + z²
= x² + 2xy + y + 2xz + 2yz + z²
= x² + y² + 2 + 2xy + 2yz + 2xz
= x²+y²+z²+ 2(xy+yz+zx) উ: ।
(iv) a + b - c - d-এর বর্গ
উত্তর।
= {(a + b)– (c+d)}²
=(a + b)² – 2. (a + b) (c + d) + (c + d)²
= a² + 2ab + b² - 2 (ac + bc + ad + bd) + c2 + 2cd + d²
=2bc - 2ad - 2bd + 2cd উ: ।
9. (a + b)² = a²+ 2ab + b²
= a²+ 2ab + b² | এবং (a – b)² = a²-2ab+b²
—এই অভেদগুলি ব্যবহার করে নীচের সংখ্যামালাগুলি পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করি।
9 18x
(i) 9x² + ---- - ----
25y² 5y
একটু সাজিয়ে নিতে হবে
18x 9
= 9x² - ---- + ----
5y 25y²
3 3²
= (3x²)-2.3x + ---- + ----
5y (5y)²
3
= (3x - ---. ) ²
5y
(ii) 25m² - 70 mn + 49n²
= (5m)² - 2.5 m.7n + (7n)²
= (5m - 7n)²
(iii) (2a - b)² + (4a - 2b) (a + b) + (a + b)²
(2a - b)² + 2 (2a - b) (a + b) + (a + b)²
= (2a - b + a + b)²
= (3a)²
p² q²
(iv) ---- + ----- - 2
q² p²
সাজিয়ে নিতে হবে
p² q²
= ---- -2 + ----
q² p²
p p q. q
= ( ---)² - 2. ---. -- + ( ----)²
q. q. p p
p. q
= ( --- - --- )²
q. p
10. নীচের সংখ্যামালাকে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি।
(i) 391-409
409 + 391. 409 - 391
=[ -------------- ]² - [ -------------- ]²
2. 2
(a + b) (a - b)
=[ ------------ ]² - [ ----------- ]² = ab
2. 2
800 18
=(-------)² - ( -------- )²
2. 2
= (400)² - (9)²
(ii) (4x + 3y) (2x - 3y)
(4x + 3y)+ (2x - 3y)
= [ ---------------------------] ². –
2
(4x + 3y)- (2x - 3y)
[ ------------------------] ².
2
4x + 3y + 2x - 3y
= [ -----------------------] ². –
2
4x + 3y - 2x + 3y)
[ ------------------------] ².
2
6x. . 2x+6y
= [-----]² – [---------]²
2. 2
6x. . 2(x+3y)
= [-----]² – [---------]²
2. 2
= (3x)². – (x– 3x)²
(iii) x = x x 1
x +1. X-1
=[. -----]² –. [ ------- ]²
2. 2
11. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি :
সমাধান
(1) 225m²-100n²
= (15m)² (10n)²
(15m +10n) (15m - 10n)
= 5(3m + 2n) 5(3m - 2n)
= 25 (3m + 2n) (3m - 2n) উঃ
1
ii) 25x² - ---- y²z²
9
1
= (5x)² - ( ----- yz)²
3
1. 1
=(5x+ ----yz) (5x - -----yz)
3. 3
(iii) 7ax² + 14ax + 7a
=.7a x² + 2x + 1)
= 7a (x + 1)²
7a (x + 1)(x + 1):1
(iv)3 (x² - 2x²a² + a4)
= 3 {(x²)² - 2.x²a² + (a²)²}
= 3 (x² - a²)²
= 3 (x² - a²) (x² - a²)
= 3 (x + a) (x - a) (x + a) (x - a)
(v) 4b²c² - (b²+ c² - a²)²
= (2bc)² - (b²+ c² - a²)²
=(2bc + b² + c² - a²) (2bc-b² - c² + a²)
={(b + c)² - (a)²} {(a²) - (b² - 2bc + c²)}
= (b+c+a) (b+c-a) {(a)²-(b-c)²}
=(b+c+a) (b+c-a) (a+b-c) (a-b+c)
(vi) 64ax² - 49a (x - 2y)²
= a{64x² - 49(x - 2y)²}
= a [(8x)² - {7(x - 2y)}²]
a[(8x)² (7x-- 14y)²]
= a (8x + 7x - 14y) (8x - 7x + 14y)
=a(15x - 14y)(x + 14y)
(vii) x² - 9 - 4xy + 4y²
= x² - 4xy + 4y² - 9
= x² - 2.x .2y + (2y)² - 9
= (x - 2y)² - (3)²
=(x - 2y + 3) (x - 2y - 3)
(viii) x² - 2x - y² + 2y
= x² - 2x + 1 - y² + 2y-1(1 যোগ বিয়োগ করিয়া)
= (x² - 2x + 1)- (y² + 2y-1)
= (x - 1)² – (y² - 2y + 1)
= (x - 1)²-(y - 1)²
=(x - 1 + y − 1) (x-1-y+1)
= (x + y - 2) (x - y)
= (x - y) (x + y - 2) উত্তর
(ix) 3 + 2a - a² ( এখানে3=4-1)
= 4 - 1 + 2a - a²
= 4 - (1 + 2a - a²)
= (2)² - (1 - 2a + a²)
= (2)²-(1-a)²
= (2+1–a) (2-1 + a)
= (3-a) (1 + a)
(x) x² - 1
= (x²)² - (1)²
= (x² - 1) (x² + 1)
= (x - 1) (x + 1) (x² + 1)
= (x² +1) (x + 1) (x - 1)
(xi) a² - b² - c² + 2bc
= a² - (b²-2bc + c²)
= (a)² - (b - c)²
= (a + b - c) (a - b + c)
(xii) ac + bc + a + b
= c (a + b) + 1 (a + b)
= (a + b) (c + 1) উত্তর
(xiii) x² + x²y² + y4
{(x²)² + 2.x².y² + (y²)² - x²y²
= (x² + y²)² - (xy)²
= (x² + y² + xy) (x² + y² - xy) উত্তর
11.সূত্রের সাহায্যে সমাধান করি
(1) (xy + pq)(xy - pq)
= (xy)² - (pq)²
= x²y² - p²q²
(ii) 49 × 51
= (50 - 1) (50 + 1)
= (50)² - (1)²
= 2500 - 1
= 2499
(iii) (2x - y + 3z) (2x + y + 3z)
= (2x + 3z - y) (2x +3z + y)
= (2x + 3z)² - (y)²
= (2x)² + 2.2x.3z + (3z)² - y²
= 4x² + 12xz + 9z² - y²
= 4x² + 9z² + 12xz - y²
(iv) 1511 x 1489
(1500+ 11) (1500 - 11)
= (1500)² - (11)²
=2250000 - 121
=2249879
(v) (a - 2) (a + 2) (a² + 4)
=(a² - 2²) (a² + 4)
=(a²-4) (a² + 4)
= (a²)² - (4)²
=a ⁴- 16
(vi) (a + bc)(b + c - a)
{(ac) + b} {-(a - c) + b}
{b+(a - c)} {b - (a -c)}
= (b)² - (a - c)²
=b² - (a²- 2ac + c²)
=b²-a²+ 2ac -c²
=b²-a²-c² + 2ac.
13.
1
(a) x + --- = 4 হলে দেখাই যে
x
1
x² + ----- = 14
x²
1
x⁴ + ----- = 194
x⁴
সমাধান a². +.b² = (a+b)² - 2ab
=(a+b)² + 2ab
1
x² + -----
x²
1 1
= [ x+ -----]² - 2 .x.----
x x
মান বসাইয়া পাই
= (4)² - 2 = 16 - 2 = 14 প্রমাণিত
1
x⁴ + -----
x⁴
1
=( x²)² + ------
(x²)²
1 1
= [ x²+-----]² - 2 .x.² ----
x² x²
মান বসাইয়া পাই
= (14)² - 2 = 196 - 2 = 194 প্রমাণিত
1
(b)m + --- = – 5 হলে দেখাই যে
m
1
m² + ----- = 23
m
সমাধান a². +.b² = (a+b)² - 2ab
=(a+b)² + 2ab
1
m² + -----
m²
1 1
= [ m+ -----]² - 2 .m.----
m m
মান বসাইয়া পাই
= (-5)² - 2 = 25 - 2 = 23 (প্রমাণিত)
1
(c) p - --- = m হলে দেখাই যে
p
1
p² + ----- = m² +2
p²
এবং
1
[ p + --- ]²= m² + 4
p
সমাধান a². +.b² = (a+b)² - 2ab
=(a+b)² + 2ab
1
p² + -----
p²
1 1
= [ p– ---]² +2 .p.----
p p
মান বসাইয়া পাই
= ( m)² +2 = m²-+2 (প্রমাণিত)
1
[ p - --- ]². ( a+b)²= (a-b)² +4ab
p
1 1
= ( p - ----- )² -+ 4 p. ---
p. p
মান বসাইয়া পাই
= m² + 4 =m² + 2
(d) a + b = 5, a – b = 1 হলে সূত্রের সাহায্যে দেখাই যে 8ab(a² + b²) = 624
সমাধান-
a + b a – b
ab =. [.------- ] – [ --------- ] ²
2. 2
5. 1
ab = (-----)² -. ( ----)²
2 2
25 1
= ----- – ------
4. 4
25. – 1
= ------------
4
24
=. -----
4
= 6
2(a² + b²)=(a + b)² + (a – b)²
=. (5)². + (1)²
=25+1=26
26
a² + b² = -------
2
= 13
:. 8ab(a² + b²) = 624
= 8×6× 13. =624(প্রমাণিত)
14. দুটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করি:
-
(a) 2(a² + b²)
2(a² + b²)=(a + b)² + (a – b)²
(b) 50x² + 18y²
= 2(25x² + 9y²)
= 2{(5x)² + (3y)²}
= 2(5x + (3y)² (5x - 3y)²
(c) a² + b² + c² + d²+ 2 (ac – bd)
সমাধান।
= ) a² + b² + c² + d²+ 2 ac – 2bd
= a² + 2ac + c² + b² - 2bd + d²
= (a + c)² + (b - d) ²
15. (i) t-এর কোন্ মানগুলির জন্য
1
x² -tx + -- একটি পূর্ণবর্গ
4
সংখ্যা মালা হবে লিখি
সমাধান-
1. 1. 1
x² -tx + -- =x² – 2x ----.+ [----]²
4 2. 2
1
x² -1x + [ ----]²
2
:. t =1 হলে রাশিটি পুনবর্গ সংখ্যা হবে
(i) a² + 4-এর সঙ্গে কত যোগ করলে তা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা হবে লিখি।
সমাধান : a² + 4
[(a)² + 2.a.2 + (2)²
= (a + 2²
এখানে 4a যোগ করলে পূর্ণবর্গ হয়।
আবার
[(a)² - 2.a.2 + (2)²
= (a - 2²
এখানে -4a যোগ করলে পূর্ণবর্গ হয়।
সুতরাং ±, 4a যোগ করলে পূর্ণবর্গ হয়।
(iii)a ও b ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং
a² – b² = 9×11 হলে a ও b এর মান লিখি।
সমাধান
a² – b² = 9 × 11
.. (a+ b) (a – b) = 9 × 11 :
(a – b) = 9 (a + b) = 11
a + b = 9
a -b = 11.
----------------- যোগ করিয়া পাই
2a = 20
বা, 2a = 20
20
বা, a = ---- = 10
2
এবং b = 11 - 10 = 1
a = 10, b = 1.
(iv) (x+y)² - (x - y)² = 4xy অভেদটি সমীকরণ? যুক্তিসহ লিখি।
(iv) (x + y)² – (x – y)² = 4xy
বামপক্ষ = (x + y)² – (x – y)²
= (x² + y² + 2xy) – (x² – 2xy + y²)
= (x² + y² + 2xy - x² + 2xy – y²)
= 4xy ইহা একটি অভেদ।
-
(v) শূন্য ছাড়া x ও y এর যে-কোনো ধনাত্মক বা ঋণাত্মক মানের জন্য (x2 + y2)- এর মান সর্বদাই
[ধনাত্মক/ঋণাত্মক]
সমাধান :
(v) x, y-এর যে-কোনো ধনাত্মক বা ঋণাত্মক মানের জন্য (শূন্য ছাড়া) x² + y² এর মান সর্বদাই ধনাত্মক হবে।
সমাধান
উত্তর। (i) 6x = 72
72
বা, x = ------
6
.:. x = 12.
(ii) 9x + 2 = 20
বা, 9x = 20 – 2
বা, 9x = 18
18
বা, x = ---
9
বা, x = 2
:. নির্ণেয় সমাধান : x = 2
(iii) 4x - 2x + 3 = 9 - 4x
বা, 4x - 2x + 4x = 9 - 3
বা, 8 x - 2x = 6
বা, 6x = 6
6
বা, x = ---- =1
6
:. নির্ণেয় সমাধানঃ x = 1
x. x. 1. x
(iv) --- – --- = 3 ---.– ----
4. 2. 2. 3
x. x. X. 7
বা, --- – --- + --. = ----
4. 2. 3 2
3x – 6x. + 4x. 7
বা,------------------. =-----
12. 2
x. 7
বা,--- =. ----
12. 2
বা, 2x = 12×7
বা, 2x =84
.:. নির্ণেয় সমাধানঃ x = 42
(v) 2x - 5{7 - (x - 6) + 3x} - 28 = 39
বা, 2x - 5 {7 - x + 6 + 3x } - 28 = 39
বা, 2x - 5 {13 + 2x} - 28 = 39
বা, 2x – 65 - 10x - 28 = 39
বা, - 8x = 39 +65 +28
বা, – 8 x = 132
132. 33 1
বা, x =--- = – ----- =16 ------
–8. 2. 2
1. 1. 1
(vi) ----(x−2) + --(x+3)= ----(x+4)+15
3. 4. 5
x. 2. x 3. x. 4
= --- – -- + ---.+ --= ---- + --- +15
3 3 4. 4. 5. 5
x. x. x 4. 2 3
বা, --- + --- - ---= ----+15+ ---- + ---
3 4 5. 5 3 4
20x + 15x - 12x 48 +900+ 40-45
বা, --------------. = ------------------
60. 60
23x. 943
বা, ----. =. ------
60. 60
বা,23x ×60 =943×60
943×60
বা,x= -----------;
60×23
নির্ণেয় সমাধানঃ x = 41