অষ্টম শ্রেণী গণিত কষে দেখি 5.3 সমাধান
অষ্টম শ্রেণী গণিত কষে দেখি 5.3
2. সরল করি (সূত্রের সাহায্যে)
(i) (a + b) (a - b) (a² + ab + b²) (a²- ab + b²)
= (a + b)(a²- ab + b²)(a - b)(a² + ab+ b²)
= (a³ + b³)(a³-b³)
= (a³)²-(b³)² = a6-b6:
(ii) (a-2b) (a²+ 2ab + 4b²) (a³+ 8b³)
= (a-2b) {(a)²+ a.2b + (2b)²} {a³ + 8b³}
= {(a)³-(2b)³} {a³ + 8b³}
= (a³-8b³)(a³ + 8b³)
= (a³)²-(8b³)²
= a6- 64b6
(iii) (4a²-9)(4a²- 6a +9)(4a²+ 6a +9)
={(2a)²-(3)²} (4a²- 6a +9)(4a²+ 6a +9)
=(2a+3)(2a-3) {(2a)²- 2a.3 + 3²} {(2a)² +2a.3 +3²}
=(2a + 3){(2a)²-2a.3 + 3²) (2a-3) {(2a)² + 2a.3 + 3²}
= {(2a)³+ (3)³} {(2a)³ - (3)³}
=(8a³+27)(8a³-27)
= (8a³)²-(27)²
= -64a6-729 :
(iv) (x - y) (x² + xy + y²) + (y - z) (y² + yz + x²)+(z - x)(x² +z- x+ x²)
= x² - y² + y² - x² + z².- z²
=0 ( সবই কাটাকাটি হবে)
(v) (x + 1)(x² - x + 1) + (2x - 1)(4x² + 2x + 1) – (x - 1)(x² +x +1 )
=x³ + 1 +( 2x)³ - 1 - x³ + 1
= x³ +1 + 8x³ - 1 - x³ + 1
= 8x³ + 1
1
3. x + ---- = – 1 হলে (x³-1)-এর মান কী
x
হবে হিসাব করে লিখি।
1
সমাধান x + ----- = - 1
x
x² + 1
বা, -------- = -1
x
বা, x² + 1= -x
বা, x² + x +1 = 0
প্রদত্ত রাশি = (x³-1)
= (x-1) (x² + x +1)
=( x - 1) × 0 =0 উত্তর
9
4. a + ---- = 3 হলে (a³+27)-এর মান কী
a
হবে হিসাব করে লিখি।
9
সমাধান a+ ----- = 3
a
a² + 9
বা, -------- = 3
a
বা, a² + 9= 3a
বা, a² - 3a +9 = 0
প্রদত্ত রাশি = (a³+ 27)
= (a)³ +( 3)³
= (a+3) {(a)² - 3a +(3)²}
= (a+3) (a² - 3a + 9)
=( a +3)) × 0 =0 উত্তর
a b
5. ---- + ---- = 1 হলে (a³+b³)-এর মান কী
b a
হবে হিসাব করে লিখি।
a b
সমাধান ---- + ----- = 1
b a
a² + b²
বা, -------- = 1
ab
বা, a² + b² = ab
বা, a² - ab + b² = 0
প্রদত্ত রাশি = (a³+ b³)
= (a)³ +( b)³
= (a+b) {(a)² - ab + b²}
=( a + b)) × 0 =0 উত্তর
5. নিচের বীজগণিতিক সংখ্যামালা গুলিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি
(i) 1000a³ + 27b6
প্রদত্ত রাশি = 1000a³ + 27b6
= (10a)³ + (3b² )³
=(10a + 3b²) (100a²-30ab² +9b⁴)
(ii) 1-216z³
প্রদত্ত রাশি = 1 - 216z³
= (1)³- (6z)³
= (1 - 6z) {(1)² + 1.6z + (6z)²}
= (1 -- 6z) (1 + 6z + 36z²)
(iii) m⁴ –m
= m (m³ - 1)
= m{(m)³ –(1)³}
=m(m – 1)(m² + m + 1)
(iv) 192a³ + 3
= 3{64a³ + 1}
=3 {(4a)³+ (1)³}
= 3 (4a + 1){(4a)²-4a.1 + (1)²}
= 3 (4a + 1)(16a²-4a + 1)
(v) 16a + x3+54ay³
প্রদত্ত রাশি = 16ax³ + 54ay3³
= 2a (8a³x³ + 27y³)
= 2a{(2ax)³ + (3y)³}
=2a(2ax+3y) (4a²x²-6axy +9y² )
(vi) 729a³b³c³ -125
প্রদত্ত রাশি = 729a³b³c³ - 125
= (9abc)3³ – (5)³
= (9abc –5) {(9abc)² + 9abc 5 +(5)²}
=(9abc-5) (81a²b²c²+45abc+25)
27 1
(vii) ---- – ------
a³. 27b³
3 1
= [------]³ –[ ------]³
a 3b
3 1 3 3 1 1
= (--- –. -----){ ( ---.)² + -- ---. +( -----)²}
a 3b a a. 3b. 3b
3 1 9 3 1
= (--- –. -----) { --- + ---- + ----- }
a 3b a ab. 9b²
x³ 64
(viii) ---- – ------
64. x³
x 4
= [------]³ –[ ------]³
4 x
x 4 x x 4 4
= (--- –. -----){ ( ---.)² + -- ---. +( ----)²}
4 x 4 4. x. x
x 4 x 16
= (--- –. -----) { --- + 1+ ----- }
4 x 16. . x²
x 4 x x. 4 4
= (-- – ----) {(---)² +2.---.-- + (--- }² -1}
4 x 4. 4. x x
x 4 x 4
= (--- – -----) {( --- + ---- }² –(1)²}
4 x 4. x
x 4 x 4 x 4
= (--- – -----) ( --- + --- –1)( --- + --- +1)
4 x 4. x. 4. x
(ix) x³+3x²y + 3xy² + 2y³
= x³ + 3x²y + 3xy²+2y³
= x³+3.x².y +3.x.y² + y³+y³
= (x + y)³+ (y)³
= (x + y + y) {(x + y)² = (x + y) y + y²}
= (x+2y)(x² + 2xy + y² - xy-y² + y²)
= (x + 2y)(x² + xy + y²) 5:1
(x) 1+9x+27x²+28x³
= (1)³+ 3.1².3x + 3.1.(3x)² + (3x)³ + x³
= (1 + 3x)³ + (x)³
= (1 + 3x + x){(1 + 3x)²-(1 + 3x) x + x²}
= (1 +4x)(1+ 6x + 9x²-x-3x²+x²)
= (1 +4x)(1+ 5x + 7x²)
(xi) x³-9y³-3xy(x - y)
= x³-y³-3xy (x - y) - 8y³
= (x - y)³-(2y)³
= (x-y-2y){(x - y)² + (x - y) 2y + (2y)²}
= (x-3y) (x² - 2xy + y² + 2xy-2y² +4y²)
= (x-3y) (x² + 3y²)
(xii) 8-a³+3a²b-3ab²+ b³
= 8 - (a³-3a²b + 3ab²-b³)
= (2)³- (a - b)³
= (2-a+b){(2)² + 2(a - b) + (a - b)²}
= (2-a + b) (4 + 2a-2b + a²-2ab + b²)
= (2-a+b) (a²- 2ab +2a-2b + b²+4)³
=(x²)³+ 3.(x²)².b²+ 3.x².(b²)² + (b²)³ + (ab)³
= (x²+ b²)³ + (ab)³
= (x²+b² + ab) {(x² + b²)²- ab (x² + b²) + (ab)²}
= (x²+ b²+ ab) {x4 + 2x²b²+ b4
- ab(x² + b²) + a²b²}
(xiv) x6+27
= (x²)³+ (3)³
= (x² + 3){(x²)² - x².3+(3)²}
= (x²+3)(x4-3x²+9)
(xv) x6-y6
= (x³)²-(y³)² = (x³ + y³)(x³ - y³)
= (x+y)(x² - xy + y²) (x - y) (x² + xy + y²)
=(x+y)(x - y)(x² + xy + y²)(x² - xy + y²)
(xvi) x¹² -y¹²
(x6)²-(y6)² = (x6-y6)(x6 + y6)
= {(x³)²-(y³)²} {(x³)² + (y³)²}
= (x³ + y³)(x³ - y³)(x² + y²)(x²-x²y² + y²)
=(x + y)(x² - xy + y²)
=(x - y)(x² + xy + y²)(x² + y²)(x²-x²y² + y^)
=(x² + y²)(x+y)(x - y)
=(x²-x²y² + y^)(x² + xy + y²)(x² - xy + y²)
(xvii) m³-n³- m (m²-n²) + n (m-n)²
= (m - n) (m² + mn + n²) - m (m + n)
(m-n) +n (m-n)(m-n)
= (m – n) (m + mn + n) – m(m+n) + n (m − n)
= (m–n)(m² +mn + n² -m²-mm +mn + m²)
কাটাকাটি হবে
= mn (m-n)