লম্ব বৃত্তাকার চোঙ কষে দেখি আট দশম শ্রেণী গণিত
পরের পর্ব দেখুন
দশম শ্রেণীর গণিত
লম্ব বৃত্তাকার চোঙ
কষে দেখি—৪
1. পাশের চিত্রের ঘনবস্তুটি দেখি ও নীচের প্রশ্নের উত্তর লিখি।
(i) ছবির ঘনবস্তুটির 3 টি তল।
(ii) ছবির ঘনবস্তুটির 1 টি বক্রতল ও 2 টি সমতল।
2. আমার বাড়ির 5টি ঘনবস্তুর নাম লিখি যাদের আকার লম্ব বৃত্তাকার চোঙ।
উঃ। কাচের গ্লাস, পাইপ, গোলাকার পেনসিল, টিউবলাইট, গ্যাস সিলিন্ডার।
3. স্টিলের পাতলা চাদর দিয়ে তৈরি ঢাকনা সমেত একটি ড্রামের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 28 সেমি। ড্রামটি তৈরি করতে যদি 2816 বর্গসেমি চাদর লাগে তবে ড্রামটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
উঃ। মনে করি, ড্রামটির উচ্চতা = h সেমি।
28
ড্রামটির ব্যাসার্ধ=---- সেমি = 14সেমি
2
প্রশ্নানুসারে, 2xrh = 2816
22
2× ----× 14 × h = 2816
7
বা, 88h = 2816
2816
ব, h = ------- =32
88
:: h = 32 .
ড্রামটির উচ্চতা 32 সেমি।
4. একটি ঘরের বারান্দায় 5.6 ডেসিমি. ব্যাসের এবং 2.5 মিটার লম্ব দুটি লম্ব বৃত্তাকার পিলার ঢালাই করতে কত ঘনডেসিমি মশলা লাগবে হিসাব করে লিখি। প্রতি বর্গমিটার 125 টাকা হিসাবে পিলার দুটি প্লাস্টার করতে কত খরচ হবে হিসাব করি।
উঃ। প্রতিটি পিলারের উচ্চতা
h = 2.5 মি = 25 ডেসিমি.।
প্রতিটি পিলারের ব্যাসার্ধ
5.6
= ----= 2.8 ডেসিমি।
2
পিলার দুটি ঢালাই করতে মশলা লাগবে
আয়তন=2 ×(π r²h)
= 2 × π(2.8)²× 25 ঘনডেসিমি।
22 28 28
2× ----× ---- × ---- × 25 ঘনডেসিমি
7 10 10
= 56 × 22 = 1232 ঘনডেসিমি।
প্রতিটি পিলারের উচ্চতা
h = 2.5 মি
প্রতিটি পিলারের ব্যাসার্ধ
5.6
= ----= 2.8 ডেসিমি।= .28 মি
2
পিলার দুটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল =
2×(2π r h)
22 28
2×2× ----× ---- × × 25 বর্গ ডেসিমি
7 10
88
= ---- বর্গ ডেসিমি।
10
= 880 বর্গডেসিমি = 8.80 বর্গমি।
:. প্রতি বর্গমিটার 125 টাকা হিসাবে পিলার দুটি প্লাস্টার করতে খরচ হবে
= (8.8×125) টাকা = 1100.0 টাকা।
= 1100 টাকা
5. 2.8 ডেসিমি দৈর্ঘ্যের অন্তর্বাসবিশিষ্ট এবং 7.5 ডেসিমি লম্ব। একটি জ্বালানি গ্যাস সিলিন্ডারে 15015 কিগ্ৰা গ্যাস থাকলে প্রতি ডেসিমি গ্যাসের ওজন হিসাব করে লিখি।
গ্যাস সিলিন্ডারে গ্যাস আছে
15015 কিগ্ৰা=15015 গ্রাম।
2.8
গ্যাস সিলিন্ডারে ব্যাসার্ধ =---- = 1.4ডেসিমি।
2
গ্যাস সিলিন্ডারের আয়তন
= π r² h
22
=---- (1.4)²×7.5 ঘনডেসিমি।
7
22 14 14 75
বা, ----× ---- × ---- × ---- ঘনডেসিমি
7 10 10 10
462
বা, ------ ঘনডেসিমি
10
231
------ ঘনডেসিমিতে গ্যাসের ওজন
5
= 15015 গ্ৰাম।
1 ঘনডেসিমি গ্যাসের ওজন =
15015 ×5
= ------------ গ্ৰাম
231
= 325 গ্ৰাম
6. সমান ব্যাস ও সমান উচ্চতা বিশিষ্ট তিনটি
2
জারের প্রথমটির ---- অংশ, দ্বিতীয়টির
3
5 7
--অংশ ও তৃতীয়টির -----অংশ লঘু
6 9
সালফিউরিক অ্যাসিডে পূর্ণ ছিল। ওই তিনটি জারের অ্যাসিড যদি 2.1 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের জাবে রাখা হয় তবে জাৱে অ্যাসিডের উচ্চতা 4.1 ডেসিমি হয়। প্রথম তিনটি জারের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 হলে, তাদের উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
উঃ মনে করি, প্রথম তিনটি জারের উচ্চতা
= h ডেসিমি।
তিনটি জারে মোট অ্যাসিড
2 5 7
= ----- + ----- + ---- অংশ
3 5 9
12 + 15 + 14
= --------------------অংশ
18
41
= -------অংশ
18
অন্য জার মনে করি সম্পূর্ণ পূর্ণ হয়ে গেছে তাই 1অংশ ধরা হইল।
1.4
তিনটি জারের ব্যাসার্ধ =------ডেসিমি
2
2.1
অন্য একটি জারের ব্যাসার্ধ =---- ডেসিমি
2
অন্য একটি জারের উচ্চতা = 4.1 ডেসিমি
প্রশ্নানুসারে,
তিনটি জারের আয়তন = অন্য জারের আয়তন
অংশ × π r²h = অংশ × π r²h
অংশ × r²h = অংশ × r²h
41 14 14 21 21 41
-----× -----×-----× h = 1 × ----× -----× ---
18 20 20 20 20 10
21 21. 41 20 20 18
বা,h =---× ----×----× ----× -----× ---
20 20 10 41 14 14
81
=----= 4.05ডেসিমি
20
প্রতিটি জারের উচ্চতা 4.05 ডেসিমি।
7.একমূখ খোলা একটি লম্ব বৃত্তাকার পাত্রের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 2002 বর্গসেমি। পাত্রটির ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 14 সেমি. হলে, পাত্রটিতে কত লিটার জল ধরবে হিসাব করে লিখি।
উঃ। মনে করি, পাত্রটির উচ্চতা - ৮ সেমি।
14
পাত্রটির ভূমির ব্যাসার্ধ = --- = 7 সেমি।
2
একমূখ খোলা একটি লম্ব বৃত্তাকার পাত্রের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল=2πrh + π r²
=π r( 2h +7)
প্রশ্নাঅনুসারে,π r( 2h +7)=2002
22
--- × 7 (2h +7) = 2002
7
বা,22 (2h +7) = 2002
2002
বা,2h +7 =------
22
বা, 2h + 7 = 91
বা, 2h = 91-7
বা, 2h = 84
84
বা, h = ----- =42
2
পাত্রটির উচ্চতা= 32সেমি= 4.2ডেসিমি
পাত্রটির ব্যাসার্ধ = 7সেমি= 0.7ডেসিমি
পাত্রটির আয়তন=π r² h
= 22
=---- (.7)²× 4.2ঘনডেসিমি।
7
22 7 7 42
বা, ----× ---- × ---- × ---- ঘনডেসিমি
7 10 10 10
6468
বা, ------ ঘনডেসিমি
1000
= 6.468 ঘনডেসিমি
=6.468 লিটার (1ঘনডেসিমি= 1 লিটার)
8. যদি 14 সেমি ব্যাসের পাইপযুক্ত একটি পাম্পসেট মিনিটে 2500 মিটার জল সেচ করতে পারে, তাহলে ওই পাস্পটি 1 ঘন্টায় কত কিলোলিটার জলসেচ করবে, হিসাব করে লিখি। | ₹1 লিটার = 1 ঘন ডেসিমি)
উঃ। পাইপের ব্যাসার্ধ
14
= ---=7 সেমি = 0.7 ডেসিমি।
2
পাইপের উচ্চতা = 2500 মি
= 25000 ডেসিমি।(h)
পাইপটি দিয়ে । ঘন্টায় জল সেচ করা যায়
= 60 x n (0.7) ² × 25000 ঘন ডেসিমি।
22 7 7
= 60 × ---- × ---× ---- × 25000 ঘন ডেসিমি।
7 10 10
= 154 x 15000 ঘন ডেসিমি
= 2310000 লিটার
= 2310 কিলোলিটার(উঃ)
9.7 সেমি. ব্যাসের একটি লম্বা গ্যাসজারে কিছু জলে আছে। ওই জল যদি 5.6 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের 5 সেমি লম্বা একটি নিরেট লোহার লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি টুকরো সম্পূর্ণ ডোবানো যায়, তবে জলতল কতটুকু উপরে উঠবে হিসাব করে লিখি।
7
উঃ। গ্যাসজারের ব্যাসার্ধ= ---- সেমি।
2
5.6 56
লোহার চোঙের ব্যাসার্ধ----সেমি= ---সেমি
2 20
মনে করি, জল h সেমি উপরে উঠবে।
প্রশ্নানুসারে,
গ্যাসজারের আয়তন =লোহার চোঙের আয়তন
π r²h = π r²h
বা, r²h= r²h
7 7 56 56
বা, ----× ----×h =× ---- × ---- ×5 ঘনডেসিমি
2 2 20 20
56 55 5 20 20
বা,h = ---× ---× ---×--- × ----ঘনডেসিমি
2 2 1 7 7
32
= ---- =3.2
10
.: জলতল 3.2 সেমি উপরে উঠবে।
10. একটি লম্ব চোঙাকৃতি স্তম্ভের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গমিটার এবং আয়তন 924 ঘনমিটার হলে এই স্তম্ভের ব্যাসের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
উঃ। মনে করি ঐ স্তম্ভের ব্যাসার্ধ r মিটার ও উচ্চতা = h মিটার।
১ম শর্তানুসারে, 2πrh = 264 ...(i) .
২য় শর্তানুসারে, πr²h = 924...(ii)
πr²h = 924
(¡¡)÷(¡) = --------------.
2πrh = 264
924
বা,r = ------ =7
132
(¡) নং থেকে পাই 2πrh = 264
22
----× 7 x h = 264
7
বা,44h=264
264
বা, h =----- =6
44
উচ্চতা=6মিটার
ব্যাসার্ধ r=7 , ব্যাস=2r =7×2=14 মিটার
স্তম্ভের ব্যাস = (2 x 7) = 14 মিটার ও উচ্চতা = 6 মিটার।
11.9 মিটার উচ্চতা বিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোজকৃতি ট্যাঙ্ক জলপূর্ণ আছে। 6 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি পাইপ দিয়ে মিনিটে 225 মিটার বেগে জল বের হয়, তাহলে 36 মিনিটে ট্যাঙ্কটির সমস্ত জল বেরিয়ে ট্যাঙ্কটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
উঃ। ধরি, ট্যাঙ্কটির ব্যাসার্ধ r মিটার।
ট্যাঙ্কটির উচ্চতা = 9 মিটার
6. 3
পাইপটির ব্যাসার্ধ = ---- =3 সেমি =---মি
2. 100
পাইপটির উচ্চতা=225মি
প্রশ্নানুসারে,
3 3
বা, π× r ²× 9 = 36×π× --- × ----×225
100 100
3 3 225. 1
বা, r ² = 36× --- × --× -------- × ----
100 100 1 9
81
বা, r ² = ----
100
√ 81 9
বা, r = ------------- = --
√100. 10
9
ব্যাসার্ধ= ----
10
9 18
ট্যাঙ্কটির বাসে =(2×----) = ---- মিটার
10 10
1.8 মিটার = 180 সেমি।
12. সমান ঘনত্বের একটি লম্ববৃত্তাকার কাঠের গুঁড়ির বক্রতলের ক্ষেত্রফল 440 বর্গডেসিমি। এক ঘনডেসিমি কাঠের ওজন 1.5 কিগ্রা এর গুঁড়িটির ওজন 9.24 কুইন্ট্যাল হলে, গুঁড়িটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
উঃ। গুঁড়িটির ওজন = 9.24 কুইন্ট্যাল
= 9.24 ×100কিগ্রা= 924 কিগ্রা
গুঁড়িটির 1.5 কিগ্ৰার আয়তন=1ঘনসেমি
1
1 " " = ----ঘনডেসেমি
1.5
1×10 ×942
924 " " = -----ঘনডেসেমি
15
=616 ঘনডেসেমি
মনে করি গুঁড়িটির ব্যাসার্ধ= r ডেসিমি
গুঁড়িটির ব্যাসার্ধ = h ডেসিমি
১ম শর্তানুসারে, 2πrh = 449 ...(i) .
২য় শর্তানুসারে, πr²h = 616...(ii)
πr²h = 616
(¡¡)÷(¡) = --------------.
2πrh =440
616 28
বা,r = ------ =------
220 10
(¡) নং থেকে পাই 2πrh = 440
22 28
2×----× ----_ x h = 440
7 10
88
বা,-----h=440
5
440×5
বা, h =-------- =. 25
88
উচ্চতা= 25 ডেসিমি
, 28
ব্যাস=2r =----×2=5.6ডেসিমি
10
উঃ-পাইপের
26
আর্ন্তব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = ---- = 13সেমি
2
13সেমি÷10=1.3ডেসিমি।
30
বহি ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য=----=15 সেমি
2
15সেমি÷10=1.5ডেসিমি।
উচ্চতা= 14.7মিটার×10=147 ডেসিমি
পাইপটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
=[2n(1.5+1.3) ×147+2π{(1.5)²-(1.3)²}] বৰ্গ ডেসিমি।
=[2π(1.5+1.3) ×147+2π{(1.5+1.3)×
(1.5–1.3)] বৰ্গ ডেসিমি
= [2π x 2.8 x 147+2πx 2.8×0.2] বর্গ ডেসিমি।
=[2π x 2.8 (147+0.2] বর্গ ডেসিমি।
=2π x 2.8 ×147.2 বর্গ ডেসিমি।
22 28 1472
=2×---- × -----× -------বর্গ ডেসিমি
7 10 10
176×1472
= -------------বর্গ ডেসিমি
100
259072
= - ----------বর্গ ডেসিমি
100
=2590.72 বর্গ ডেসিমি
পাইপটি আলকাতরা লাগাতে খরচ হবে
(2590.72×2.25) টাকা
=5829.12 টাকা( উত্তর)
14. একটি দুইমুখ খোলা লোহার লম্ববৃত্তাকার ফাঁপা চোঙের উচ্চতা 2.8 মিটার। চোঙটির অন্তঃ-ব্যাসের দৈর্ঘ্য 4.6 ডেসিমি এবং চোঙটি 84.48 ঘন ডেসিমি লোহা দিয়ে তৈরি হলে, চোঙটির বর্হিব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
উঃ। ধরি, চোঙটির বর্হিঃব্যাসার্ধ = r ডেসিমি। চোঙটির উচ্চতা = 2.8 মি
2.8 মি = 28 ডেসিমি।
4.6
চোঙটির অন্তর্ব্যাসার্ধ্য =---- ডে সিমি
2
=2.3 ডেসিমি
h=2.8 মি = 28 ডেসিমি
প্রশ্নানুসারে,π{ r² - (2.3)² }28 = 84.48
22 8448
=বা, ---( r² - 5.29) × 28 = -------
7 100
8448 7 1
=বা, r² - 5.29 = ------- ×----× ---
100. 22. 28
বা,r² –5.29 = 0.96
বা,r² = 0.96+5.29
বা,r² = 6.25
_____
বা,:r = √6.25 = 2.5
: চোঙটির বর্হিঃব্যাস = (2 × 2.5) = 5 ডেসিমি।
15. একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা উহার ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। যদি তা 6 গুণ হতো তবে চোঙটির আয়তন 539 ঘনডেসিমি বেশি হতো। চোঙটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
উঃ। মনে করি চোঙটির উচ্চতা = h ডেসিমি ও ব্যাসার্ধ = r ডেসিনি।
এখানে চোঙটির উচ্চতা ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ
:.h = 2r
=
:. চোঙটির আয়তন = n x 2 x (2r) ঘন ডেসিমি = 2nr³ ঘন ডেসিমি।
এখন চোঙটির উচ্চতা ব্যাসার্ধের 6গুণহলে h = 6r হইবে।
চোঙটির আয়তন হবে = (π r² × 6r) = 6πr³ ঘন ডেসিমি।
প্রশ্নানুসারে, 6πr³ – 2nr³ = 539
বা, 4πr³ = 539
22
বা, 4×---- ×r³ =539
7
539 7
বা, r³ = ----- × -----
4 22
343. 7
বা, r³ = ------ = (----)³
8. 2
7
বা, r = -----
2
7
ব্যাস = 2× ---- =7
2
: চোঙটির উচ্চতা (h) = 2r = 7 ডেসিমি।
পরের পর্ব দেখুন