দশম শ্রেণী গণিত লম্ব বৃত্তাকার চোঙ কষে দেখি আট সমাধান পর্ব ২
 |
আগের পর্ব দেখুন
দশম শ্রেণী গণিত
লম্ব বৃত্তাকার চোঙ
কষে দেখি—৪
12. সমান ঘনত্বের একটি লম্ববৃত্তাকার কাঠের গুঁড়ির বক্রতলের ক্ষেত্রফল 440 বর্গডেসিমি। এক ঘনডেসিমি কাঠের ওজন 1.5 কিগ্রা এর গুঁড়িটির ওজন 9.24 কুইন্ট্যাল হলে, গুঁড়িটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
উঃ। গুঁড়িটির ওজন = 9.24 কুইন্ট্যাল
= 9.24 ×100কিগ্রা= 924 কিগ্রা
গুঁড়িটির 1.5 কিগ্ৰার আয়তন=1ঘনসেমি
1
1 " " = ----ঘনডেসেমি
1.5
1×10 ×942
924 " " = -----ঘনডেসেমি
15
=616 ঘনডেসেমি
মনে করি গুঁড়িটির ব্যাসার্ধ= r ডেসিমি
গুঁড়িটির ব্যাসার্ধ = h ডেসিমি
১ম শর্তানুসারে, 2πrh = 449 ...(i) .
২য় শর্তানুসারে, πr²h = 616...(ii)
πr²h = 616
(¡¡)÷(¡) = --------------.
2πrh =440
616 28
বা,r = ------ =------
220 10
(¡) নং থেকে পাই 2πrh = 440
22 28
2×----× ----_ x h = 440
7 10
88
বা,-----h=440
5
440×5
বা, h =-------- =. 25
88
উচ্চতা= 25 ডেসিমি
28
ব্যাস=2r =----×2=5.6ডেসিমি
10
13. দুই মুখ খোলা একটি লম্ব বৃত্তাকার লোহার পাইপের মুখের বহিব্যাসের দৈর্ঘ্য 30 সেমি। আন্তবাসের দৈর্ঘ্য :26 সেমি এবং পাইপটির দৈর্ঘ্য 14.7 মিটার। প্রতি বর্গ ডেসিমি 2.25 টাকা হিসাবে ওই পাইপটির সমগ্রতলে মালকাতরার প্রলেপ দিতে কত খরচ হবে তা হিসাব করে লিখি।
উঃ-পাইপের
26
আর্ন্তব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = ---- = 13সেমি
2
13সেমি÷10=1.3ডেসিমি।
30
বহি ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য=----=15 সেমি
2
15সেমি÷10=1.5ডেসিমি।
উচ্চতা= 14.7মিটার×10=147 ডেসিমি
পাইপটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
=[2n(1.5+1.3) ×147+2π{(1.5)²-(1.3)²}] বৰ্গ ডেসিমি।
=[2π(1.5+1.3) ×147+2π{(1.5+1.3)×
(1.5–1.3)] বৰ্গ ডেসিমি
= [2π x 2.8 x 147+2πx 2.8×0.2] বর্গ ডেসিমি।
=[2π x 2.8 (147+0.2] বর্গ ডেসিমি।
=2π x 2.8 ×147.2 বর্গ ডেসিমি।
22 28 1472
=2×---- × -----× -------বর্গ ডেসিমি
7 10 10
176×1472
= -------------বর্গ ডেসিমি
100
259072
= - ----------বর্গ ডেসিমি
100
=2590.72 বর্গ ডেসিমি
পাইপটি আলকাতরা লাগাতে খরচ হবে
(2590.72×2.25) টাকা
=5829.12 টাকা( উত্তর)
14. একটি দুইমুখ খোলা লোহার লম্ববৃত্তাকার ফাঁপা চোঙের উচ্চতা 2.8 মিটার। চোঙটির অন্তঃ-ব্যাসের দৈর্ঘ্য 4.6 ডেসিমি এবং চোঙটি 84.48 ঘন ডেসিমি লোহা দিয়ে তৈরি হলে, চোঙটির বর্হিব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
উঃ। ধরি, চোঙটির বর্হিঃব্যাসার্ধ = r ডেসিমি। চোঙটির উচ্চতা = 2.8 মি
2.8 মি = 28 ডেসিমি।
4.6
চোঙটির অন্তর্ব্যাসার্ধ্য =---- ডে সিমি
2
=2.3 ডেসিমি
h=2.8 মি = 28 ডেসিমি
প্রশ্নানুসারে,π{ r² - (2.3)² }28 = 84.48
22 8448
=বা, ---( r² - 5.29) × 28 = -------
7 100
8448 7 1
=বা, r² - 5.29 = ------- ×----× ---
100. 22. 28
বা,r² –5.29 = 0.96
বা,r² = 0.96+5.29
বা,r² = 6.25
_____
বা,:r = √6.25 = 2.5
: চোঙটির বর্হিঃব্যাস = (2 × 2.5) = 5 ডেসিমি।
15. একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা উহার ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। যদি তা 6 গুণ হতো তবে চোঙটির আয়তন 539 ঘনডেসিমি বেশি হতো। চোঙটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
উঃ। মনে করি চোঙটির উচ্চতা = h ডেসিমি ও ব্যাসার্ধ = r ডেলিনি।
এখানে চোঙটির উচ্চতা ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ
:.h = 2r
=
:. চোঙটির আয়তন = n x 2 x (2r) ঘন ডেসিমি = 2nr³ ঘন ডেসিমি।
এখন চোঙটির উচ্চতা ব্যাসার্ধের 6গুণহলে h = 6r হইবে।
চোঙটির আয়তন হবে = (π r² × 6r) = 6mr³ ঘন ডেসিমি।
প্রশ্নানুসারে, 6πr³ – 2nr³ = 539
বা, 4mr³ = 539
22
বা, 4×---- ×r³ =539
7
539 7
বা, r³ = ----- × -----
4 22
343. 7
বা, r³ = ------ = (----)³
8. 2
7
বা, r = -----
2
7
ব্যাস = 2× ---- =7
2
: চোঙটির উচ্চতা (h) = 2r = 7 ডেসিমি।
©©©©©©©©©©©
16. ফায়ার ব্রিগেডের কোনো একটি দল একটি জলভরতি লম্ব বৃত্তাকার ট্যাঙ্কারের জল 2 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের তনটি হোস পাইপ দিয়ে মিনিটে 420 মিটার বেগে ঢেলে 40 মিনিটে আগুন নেভাল। যদি ট্যাঙ্কারটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য
:.৪ মিটার এবং দৈর্ঘ্য 6 মিটার হয়, তবে (i) আগুন নেভাতে কত জল খরচ হয়েছে এবং (ii) ট্যাঙ্কারে আর কত জল রয়েছে নির্ণয় করি।
2.8
উঃ। ট্যাঙ্কারটির ব্যাসার্ধ=--- =1.4মি
2
=1.4×10 ডেসিমি =14 ডেসিমি
ট্যাঙ্কারটির দৈর্ঘ্য =6 মিটার = 60 ডেসিমি।
অথাৎ h = 60 ডেসিমি
ট্যাঙ্কারটির আয়তন
= π (1.4)² x 60 ঘন ডেসিমি।
22 14 14
= ---- × ----- × ------ × 60 ঘন ডেসিমি
7 10 10
= 36960 ডেসিমি।
(1ঘন ডেসিমি=1 লিটার।)
:: ট্যাঙ্কটিতে জল ধরে 36960 লিটার।
প্রতিটি হোসপাইপের ব্যাসার্ধ
2 1
=---- সেমি = 1 সেমি = ----ডেসেমি
2 10
পাইপের দৈর্ঘ্য = 420 মিটার = 4200 ডেসিমি।
. 40 মিনিটে জল খরচ হবে
1
= 40x3xπ (-----)² ×4200লিটার
10
22 1
= 120x---- × ----- × 4200 লিটার
7 100
= 15840 লিটার।
ট্যাংকারের আর জল রয়েছে =
(36960 - 15840) লিটার = 21120 লিটার।
17. 17.5 সেমি. ব্যাসের 4টি লম্ব বৃত্তাকার ঢালাই পিলাইয়ের চারিপার্শে 3.5 সেমি পুরু বালি-সিমেন্টের ও করতে হবে। (i) প্রতিটি পিলার যদি 3 মিটার লম্বা হয়, তবে কত ঘন ডেসিমি মশলা লাগবে হিসাব করে দিন
প্লাস্টারের মশলা তৈরি করতে যদি 4:1 অনুপাতে বালি ও সিমেন্ট মেশাতে হয়, তবে কত ঘন ডেসিমি সিমেন্ট প্রয়োজন, হিসাব করে লিখি।
উঃ। (i) প্রতিটি পিলারের দৈর্ঘ্য
= 3 মিটার = 30 ডেসিমি।
প্রতিটি পিলারের অন্তঃব্যাসার্ধ
17.5 175 175 7
= ----- = ------- সেমি= ------ = ---ডেসিমি
2 20 200 8
প্রতিটি পিলারের বর্হিঃব্যাসার্ধ
7 75
= ( ---- + ------ ) ডেসিমি।
8 10
7 35 7 7
= ( ---- + ------ ) = ( ---- + ---- ) ডেসিমি
8 100 8 20
35 + 14 49
= ------------- =----- ডেসিমি
40 40
পিলারগুলি ঢালাই করতে মশলা লাগবে =
49 7
= 4×π ( --- )² – (----- )² ×30 ঘনডেসিমি।
40 8
22 49 7 49 7
= 4×--- ( ---- + - -) ( ---- - ---) ×30 ঘনডেসি
7 40 8 40 8
22 49 - 35 49-35
= 4×--- ( ------) × ( --------) ×30 ঘনডেসি
7 40 40
22 84 14
= 4×---×------ × ----) ×30 ঘনডেসিমি
7 40 40
2772
= --------;ঘনডেসিমি
10
= 277.2 ঘনডেসিমি
(ii) :: সিমেন্ট লাগবে
1
=( 277.2 x --- )ঘনডেসিমি
5
18. একটি লম্ব বৃত্তাকার ফাঁপা চোঙের বহিব্যাসের দৈর্ঘ্য 16 cm এবং অন্তব্যাসের দৈর্ঘ্য 12 cm। চোঙটির উচ্চতা 36 cm। চোঙটিকে গলিয়ে 2 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট এবং 6 সেমি দৈর্ঘ্যের কতগুলি নিরেট চোঙ তৈরি।যাবে হিসাব করি।
উঃ। মনে করি, x টি নিরেট চোঙ তৈরি করা যাবে।
প্রশ্বানুসারে.
2 16 12
= x × π( ---)² ×6 = π ( --- )² - ( ---)²×36
2 2 2
বা,x×6={(8)²-(6)²}×36
(64-36) × 36
বা, x= -------------------- =28×6 =168
6
:.168 টি নিরেট চোঙ তৈরি করা যাবে
19. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(1) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 3 এবং উচ্চতার অনুপাত 5 : 3 হলে তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত-
(a) 2:5
(b) 8:7
(c) 10:9
(d) 16:9
উঃ। বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= 2n x 2 x 5 : 2 × 3 x 3
= 10 : 9
. (c) উত্তরটি সঠিক।
(ii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 3 এবং উচ্চতার অনুপাত 5 : 3 হলে তাদের আয়তনের অনুপাত-
শর্তানুসারে,
(a) 27:20
(b) 20:27
(c) 4:9
(d) 9:4
উঃ। তাদের আয়তনের অনুপাত
= n(2)² × 5 : n(3)² × 3
= 20:27
:: (b) উত্তরটি সঠিক।
(iii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের আয়তন সমান এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 1 : 2 হলে, তাদের ব্যাসার্ধের অনুপাত--
(a) 1:√2
(b) √2:1
(c) 1:2
(d)2:1
উঃ-(d) 2:1
π r² h = π r² h, এবং h. : h = 1:2
¹. ² ¹ ²
[মনেকরি h = x, b = 2x]
¹ ²
শর্তানুসারে, π r² h = π r² h
¹. ²
বা, r² = 2 r²
¹ ²
বা, r = √2r
²
বা, r. √2
¹
------ = -------
r. 1
²
r. : r = √2:1
¹. ²
তাদের ব্যাসার্ধের অনুপাত √2:1
:: (b) উত্তরটি সঠিক।
(iv) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ হলে, চোঙটির আয়তন হবে চোঙের আয়তনের-
(a) সমান
(b) দ্বিগুণ
(c) অর্ধেক
(d) 4 গুণ
উঃ। ধরি, চোঙের ব্যাসার্ধ = r একক ও
উচ্চতা = h একক হইলে আয়তন
(v ) = xr²h।
¹
r
ব্যাসার্ধ -----একক ও
2
উচ্চতা = 2h একক হইলে আয়তন
r 1 1
( v ) = π(-----) ×2h = ---- πr²h =---v
² 2 2 2 ¹
2. (c) উত্তরটি সঠিক।
(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ এবং উচ্চতা অর্ধেক করা হলে, বক্রতলের ক্ষেত্রফল পূর্বের চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের-
(a) সমান
(b) দ্বিগুণ
(c) অর্ধেক
উঃ। ধরি, চোঙের ব্যাসার্ধ = r একক
ও উচ্চতা h
A = 2nrh। এখন ব্যাসার্ধ = 2r
¹
h
উচ্চতা--- একক হইলে
2
h
আয়তন (A. ) =2π(2r)×----
² 2
= 2πrh= (A )
¹
: (a) উত্তরটি সঠিক।
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) একটি লম্ব চোঙাকৃতি ড্রামের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি এবং উচ্চতা h সেমি। ড্রামের অর্ধেক জলপূর্ণ থাকলে, জলের আয়তন হবে πr²h ঘনসেমি।
উঃ। (মিথ্যা)
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2 একক হলে, চোঙটির যে কোন উচ্চতার জন্য চোঙটির আয়তন এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হবে।
উঃ। (সত্য)
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) একটি আয়তক্ষেত্রাকার কাগজের দৈর্ঘ্য । একক এবং প্রস্থ b একক। আয়তক্ষেত্রাকার কাগজটিকে মুড়ে একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হল যার পরিধি কাগজটির দৈর্ঘ্যের সমান। চোঙটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল --- বর্গএকক।
উত্তর-b
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 3 সেমি এবং উচ্চতা 4 সেমি। চোঙটির ভিতর সর্বাপেক্ষা লম্বা যে দন্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য---- সেমি।
উত্তর - 5
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হলে চোঙটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য---একক।
উত্তর- 4
20. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙাকৃতি স্তম্ভের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গমি এবং আয়তন 924 ঘনমিটার হলে, স্তম্ভের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত লিখি।
= r মি ও উচ্চতা = h মিটার।
উঃ। মনে করি, স্তম্ভটির ভূমির ব্যাসার্ধ := r মি ও উচ্চতা = h মিটার।
১ম শর্তানুসারে 2xrh = 264
২য় শর্তানুসারে πr²h = 924
r. 924
(ii) ÷ (i) = ---- = --------
2 264
924
বা, r =------- =7
2
:: চোঙটির স্তম্ভের ভূমির ব্যাসার্ধ = 7 মিটার।
(ii) একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল c বর্গএকক, ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং আয়তন v ঘনএকক হলে
cr
------ এর মান কত তা লিখি।
v
উঃ। ধরি, চোঙটির উচ্চতা = h একক
cr. 2πrh × r
:. ------ = ----------- = 7
v. π r² h
(iii) একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 14 cm এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গসেমি হলে চোঙটির আয়তন কত তা লিখি।
উঃ। মনে করি, চোঙটির ভূমির ব্যাসার্ধ = r সেমি।
প্রশ্নানুসারে, 2arh = 264
22
বা, 2x ----- × r × 14 = 264
7
264
বা, r = ------ =3
88
চোঙটির আয়তন
= π r² h ঘন সেমি
= n(3)²x14 ঘন সেমি
= 396 ঘন সেমি
(iv) দুটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1 : 2 এবং ভূমির পরিধির অনুপাত 3 : 4 হইলে তাদের আয়তন অনুপাত কত তা লিখি।
উঃ। মনে করি, চোঙদুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে
r একক ও R একক ও
উচ্চতা h ও 2h একক
প্রশ্নানুসারে, 2πr : 2πR= 3:4
বা, r : R=3:4
3R
বা, r =-----
4
:: আয়তনের অনুপাত
= n(r)2 x h:n(R²) x 2h
3R
বা, (-----)²:2R²
4
= 9R² : 32R ²
= 9 : 32
(v) একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% হ্রাস করা হল এবং উচ্চতা 50% বৃদ্ধি করা হলো। চোঙটির আয়তনের শতকরা কত পরিবর্তন হবে তা লিখি।
উঃ। মনে করি, চোঙটির ব্যাসার্ধ = r একক ও উচচতা h একক
: আয়তন (v) = π r² h ঘন একক।
¹
: চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% হ্রাস পেলে হয়
50r. r
------ = ---- একক
100. 2
চোঙের উচ্চতা 50% বৃদ্ধি পেলে হয়
150h 3h
------ = ---- একক
100 2
এখন আয়তন
r 3h 3
(v ) = π (----)× ---- = ---- πr²hঘন একক
² 2 2 8
:. আয়তন হ্রাস. =
3
π r² h - ---- π r² h
8
[ ----------------------------- ×1000 ] ℅
π r² h
5
=( --------× 100)℅
8
500
= ------------℅
8
1
= 62---- ℅
2
.