অষ্টম শ্রেণীর গণিত কষেদখি ২০.২ সমাধান/class 8 math kosed3khi 20.2 chapter solution
 |
অষ্টম শ্রেণীর গণিত
কষে দেখি–20.2
সমাধান
1. নীচের বহুভুজগুলির অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি লিখি—
(i) পঞ্চভুজ (ii) ষড়ভুজ (iii) সপ্তভুজ (iv) অষ্টভুজ (v) দশভুজ (vi) বহুভুজ যার বাহুসংখ্যা 12
সমাধান : (i) পঞ্চভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2 (5–2) × 90° = 2 × 3 × 90° = 540° উঃ।
(ii) ষড়ভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2 (6 - 2) × 90° = 2 × 4 × 90° = 720° উঃ।
(ii) সপ্তভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
2(7 – 2) × 90° = 2 × 5 × 90° = 900° উঃ।
(iv) অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2 (8 – 2) × 90° = 2 × 6 × 90° = 1080° উঃ।
(v) দশভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2 (10-2) x 90° = 2 × 8 × 90° = 1440° উ: ।
(vi) 12 বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি = 2 (12–2) ×90° = 2 × 10 x 90° = 1800° উ: ।
2. একটি চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে 104-50, 65° এবং 72:5°; চতুর্থ কোণটির পরিমাপ লিখি।
সমাধান : তিনটি কোণের সমষ্টি
= (104.5° +65° + 72.5°) = 242°
:: চতুর্থ কোণটি = 360° – 242° [: চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি 360°]
= 118°
3. একটি পঞ্চভুজের চারটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে 65°, 890, 132° এবং 116°; পঞ্চম কোণটির পরিমাপ লিখি।
সমাধান :
প্রদত্ত চারটি কোণের সমষ্টি = (65° + 89° + 132° + 116°) = 402°
: পঞ্চম কোণটির পরিমাপ = 540° - 402° = 138° উ:
[:: পঞ্চভুজের পাঁচটি কোণের সমষ্টি = 2 (5–2) x 90° = 540°]
4. একটি কুব্জ চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে 68°, 70° এবং 75° হতে পারে কিনা লিখি।
সমাধান : প্রদত্ত কোণ তিনটির সমষ্টি
= 68° + 70° + 75° = 213°
এখন, কুব্জ চতুর্ভুজের চতুর্থ কোণ
= 360° – 213° = 147 < 180°
:: চতুর্থ কোণের মান 180°-এর চেয়ে কম :: প্রদত্ত তিনটি কোণ একটি কুব্জ চতুর্ভুজের হতে পারে।
: হ্যাঁ, হতে পারে।
5. একটি কুব্জ ষড়ভূজের পাঁচটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে 120°, 70°, 95°, 78° এবং 160° হতে পারে কিনা। লিখি।
সমাধান :
প্রদত্ত পাঁচটি কোণের সমষ্টি = 120° + 70° + 95° + 78° + 160° = 523°
একটি কুব্জ ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি
= 2(6-2) x 90° = 2 x 4 x 90° = 720°
ষষ্ঠ কোণটির মান = 720°- 523° = 197°> 180°
: ষষ্ঠ কোনটির মান 180°-এর চেয়ে বেশি, অর্থাৎ
ষষ্ঠ কোণটি একটি প্রবৃদ্ধ কোণ, : প্রদত্ত পাঁচটি কোণ কোনো কুব্জ ষড়ভুজের হতে পারে না।
: না, পারে না।
6. নীচের সুষম বহুভুজগুলির প্রতিটি অন্তঃকোণ ও প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ লিখি-
(i) পঞ্চভুজ (ii) ষড়ভুজ (iii) অষ্টভুজ (iv) বহুভুজের বাহুসংখ্যা 9টি (v) বহুভুজের বাহুসংখ্যা 10টি (vi) বহুভুজের বাহুসংখ্যা 18টি।
সমাধান: (i) পঞ্চভুজের বাহুসংখ্যা = 5
: প্রতিটি বহিঃকোণ বা = 360°÷ 5 = 72°
: প্রতিটি অন্তঃকোণ = 180°-72° = 108°
(ii) ষড়ভুজের বাহুসংখ্যা = 6
:: প্রতিটি বহিঃকোণ = 360°÷ 6 - 60°
প্রতিটি অন্তঃকোণ - 180°- 60° - 120°
(iii) অষ্টভুজের বাহুসংখ্যা 8
.. প্রতিটি বহিঃকোণ - 360° ÷ 8= 45°
.. প্রতিটি অন্তঃকোণ - 180°-45° -=135°
(iv) বহুভুজের বাহুসংখ্যা = 9
প্রতিটি বহিঃকোণ = 360° ÷ 9 - 40°
প্রতিটি অন্তঃকোণ - 180°- 40° = 140°
(v) বহুভুজের বাহুসংখ্যা 10
.. প্রতিটি বহিঃকোণ = 360°÷10= 36°
.. প্রতিটি অন্তঃকোণ = 180°-36° = 144°
(vi) বহুভুজের বাহুসংখ্যা = 18
.. প্রতিটি বহিঃকোণ =360° ÷ 18= 20°
প্রতিটি অন্তঃকোণ = 180°-20° = 160°
7. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাণ নিম্নলিখিত পরিমাপগুলি হতে পারে কিনা (হ্যাঁ/না) লিখি।
(i) 60°
(ii) 10°
(iii) 13°
(iv) 18°*
(v) 35°
সমাধান : (i) প্রতিটি বহিঃকোণের মান 60° হলে সুষম বহুভুজটির বাহুসংখ্যা হবে
360 ÷ 60 =6টি। যা একটি পূর্ণ সংখ্যা।
:: প্রতিটি বহি:কোণের পরিমাপ 60° হতে পারে।
(ii) প্রতিটি বহি:কোণের মান 10° হলে সুষম বহুভুজটির বাহুসংখ্যা হবে 360° = 36 যা একটি পূর্ণ সংখ্যা।
: প্রতিটি বহি:কোণের পরিমাণ 10° হতে পারে।
(iii) প্রতিটি বহি:কোণের মান 13° হলে সুষম বহুভুজটির সংখ্যা হবে 360° ÷ 13⁰
9
=27----যা একটি পূর্ণ সংখ্যা নয়।
13
বাহুর সংখ্যা কখনও পূর্ণসংখ্যা না হয়ে ভগ্নাংশ হতে পারে না।
প্রতিটি বহি:কোণের মান 13° হতে পারে না।
(iv) প্রতিটি বহিঃকোণের মান 18° হলে সুষম বহুভুজটির বাহুসংখ্যা হবে
360 ÷ 18 =20টি। যা একটি পূর্ণ সংখ্যা।
:: প্রতিটি বহি:কোণের পরিমাপ 18° হতে পারে।
(v)প্রতিটি বহি:কোণের মান 36° হলে সুষম বহুভুজটির সংখ্যা হবে 360° ÷ 35⁰
360
---যা একটি পূর্ণ সংখ্যা নয়।
35
বাহুর সংখ্যা কখনও পূর্ণসংখ্যা না হয়ে ভগ্নাংশ হতে পারে না।
প্রতিটি বহি:কোণের মান 13° হতে পারে না।
(ii) 8-এর (i) উত্তর অণুকরণে হবে। নিজেরা করো।
=27
13, যা পূর্ণসংখ্যা নয়। কিন্তু বাহুর
৪. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ নিম্নলিখিত পরিমাপগুলি হতে পারে কিনা (হ্যাঁ/না) লিখি।
(i) 80° (ii) 100° (iii) 120° (iv) 144° (v) 155° (vi) 160°
সমাধান : (i) প্রতিটি অন্তঃকোণ = 80°
.:. প্রতিটি বহিঃকোণ = 180° – 80° = 100°
: বহুভুজটির বাহুসংখ্যা
360 ÷100
6
= 3---যা পূর্ণসংখ্যা নয়।
10
:: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের মান 80° হতে পারে না।
(ii) প্রতিটি অন্তঃকোণ = 100°
.:. প্রতিটি বহিঃকোণ = 180° – 100° = 80°
: বহুভুজটির বাহুসংখ্যা
360 ÷80
4
= 4--যা পূর্ণসংখ্যা নয়।
8
:: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের মান 100° হতে পারে না।
(iii) প্রতি অন্তঃকোণ - 120"
প্রত্যেক বহিঃকোণ - 180° - 120°= 60"
কিন্তু বহিঃকোণগুলির সমষ্টি = 360°
.. বহুভুজটির বাহুসংখ্যা =360°÷ 60°=6টি
.: একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃকোণের মান 120° হতে পারে।
(iv) প্রশ্নের উত্তর (iii)-এর উত্তর অনুকরণে নিজেরা করো।
(v) প্রশ্নের উত্তর (i) এর উত্তর অনুকরণে নিজেরা করো।
(vi) প্রশ্নের উত্তর (iii) এর উত্তর অণুকরণে নিজেরা করো।
9. একটি সুষম বহুভূজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ 60"; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।
সমাধান : একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ = 60"
.. বহুভুজটির বাহুসংখ্যা
360° ÷ 60° = 6টি
10. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ 135°; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।
সমাধান : প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ -=135°
প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ = 180° - 135° = 45°
.:. বহুভুজটির বাহু সংখ্যা 360° ÷ 45° =8
• বহুভুজটির বাহুসংখ্যা ৪ টি।
11. একটি সুষম বহুভূজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপের অণুপাত 3:2; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।
সমাধান : মনেকরি, প্রতিটি বহিঃকোণ ও প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ যথাক্রমে 3x° ও 2x° ( মনেকরি সাধারণ অনুপাত =x।
3x + 2x = 180°
বা, 5x° = 180°
বা, x = 180° + 5 = 36°
.: প্রতিটি বহিঃকোণ = 2 x 36° -=72°
.. বহুভূজটির বাহুসংখ্যা = 360° ÷ 72°= 5
নির্ণেয় বাহুসংখ্যা 5টি
12. একটি বহুভূজের অন্তঃকোণগুলির পরিমাপের সমষ্টি 1800°; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।
সমাধান : মনে করি বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = n
প্রশ্নানুসারে, 2 (x-2) x 90° = 1800°
বা, x-2= 1800÷180
বা, x -2 = 10
বা, x = 10 + 2
বা, x = 12
.:. বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = 12.
13. একটি বহুভুজের পাঁচটি অন্তঃকোণের পরিমাপ 172° এবং অন্তঃকোণগুলির প্রতিটির পরিমাপ 160°; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।
সমাধান : যে 5টি কোণ 172° করে তাদের বহিঃকোণগুলির প্রত্যেকটি (180° – 172°) = 8°
এইরূপ ১টি বহিঃকোণের সমষ্টি = 5 × 8° = 40°
সুতরাং, অবশিষ্ট বহিঃকোণগুলির সমষ্টি
= 360° - 40° = 320°
এখন যে কোণগুলির মান 160° করে তাদের বহিঃকোণগুলির প্রত্যেকটি = 180° - 160° = 20°
বহিঃকোণগুলির সংখ্যা =320⁰ ÷ 20° =16
.. বহুভূজটির বাহুসংখ্যা (5+16) = 21টি।
14. প্রমাণ করি যে একটি চতুর্ভুজের যে কোনো দুটি সন্নিহত কোনের সমদ্বিখণ্ডকছয়ের দ্বারা উৎপন্ন কোণ চতুর্ভুজের অপর কোণদ্বয়ের সমষ্টির অর্ধেক।
ABCD চতুর্ভুজের ZA ও ZB-র সমদ্বিখণ্ডক AO ও BO পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে;
প্রমাণ করতে হবে যে, <AOB =½ (< D + < C)
প্রমাণ AOB ত্রিভুজের < O + < OAB. + < OBA
= 2 সমকোণ
ABCD চতুর্ভুজের < BAD + < ABC + < C + < D = 4 সমকোণ
.. < 0 + < OAB + < OBA
= ½(<BAD+ < ABC+ < C+ < D)
কিন্তু স্বীকার করা আছে যে,
< OAB =½ < BAD এবং < OBA = ½ABC
.:. অবশিষ্ট < O = ½( < C + < D)
15. ABCDE একটি সুষম পঞ্চভুজ। প্রমাণ করি যে, AABC সমদ্বিবাহু এবং BE ও CD সমান্তরাল সরলরেখাংশ।
প্রমাণ : A, C; B, E; C, E যোগ করি।
এখন, ∆ABC-এ AB = BC [ : ABCDE সুষম পঞ্চভূজ, AB = BC= CD = DE = EA ]
:: ∆ABC সমদ্বিবাহু (প্রমাণিত)
360°÷ 5= 72
আবার, সুষম পঞ্চভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের মান =
- প্রতিটি অন্তঃকোণের মান 180° – 72° = 108°
: A
∆CDE-এর <CDE = 108°
আবার, <DCE = <DEC [ : CD = DE]
180°-108° 72°
: <DCE = <DEC = ----------= -----=36°
2 2
একইভাবে, ∆AEB-এ <AEB = 36° [:AE=AB]
কিন্তু, <AED = 108°
বা, <AEB + <BEC + <DEC = 108°
বা, 36° + <BEC + 36° = 108°
বা, <BEC = 108° – (36° + 36°)
বা, <BEC = 108° - 72°
বা, <BEC = 36°
= 36°
<BEC = <DCE [উভয়েই 36° হলে]
কিন্তু উহারা একান্তর কোণ।
. BE || CD (প্রমাণিত)
16. ABCDEF একটি সুষম ষড়ভুজ। <BAF-এর সমন্বিখণ্ডক DE-কে X বিন্দুতে ছেদ করে। <AXD-এর পরিমাপ লিখি।
সমাধান : ABCDEF একটি সুষম ষড়ভুজ।
360°
.. এটির প্রতিটি বহিঃকোণের মান = 360°÷6=60°
.. প্রতিটি অন্তঃকোণের মান = 180° - 60° = 120°
<BAF = 120°
AX, <BAF-কে এর একটি সমদ্বিখণ্ডক।
<FAX = 120°÷3= 40°
কিন্তু AD, <BAF-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
: <ADX = 120°÷2 = 60°
তাহলে, <DAX = <FAD -<FAX = 60° -40° = 20°
আবার, AD, <CDE-এরও সমন্বিখণ্ডক হবে।
: <ADX = 120°÷2 = 60
∆AXD-এ, <AXD + <ADX + <DAX = 180°
বা, <AXD + 60° + 20° = 180°
বা, <AXD = 180° - 80° = 100°
. <AXD = 100°