দ্বিঘাত করণী দশম শ্রেণীর গণিত কষেদেখি ৯.১, ৯.২,৯.৩ সমাধান
 |
দশম শ্রেণীর গণিত
কষেদেখি 9.1-9.2 এবং 9.3 সমাধান
1. মুলদ ও অমুলদ সংখ্যার গুণফল আকারে লিখি :
(i) √175
(ii) 2√112
(iii) √108
(iv) √125
________
উঃ- (i) √175 = √5 × 5 x 7 = 5√7
______
(ii) 2√112 = 2√4x4x7 = 2 × 4√7 = 8√7
_____________
(iii) √108 = √2 x 2 × 3 × 3× 3 = 2 ×3+√3 = 6√3
_______
(iv) √125 = √5 × 5 × 5 = 5√5
2. প্রমাণ করি যে √108 - √75 = √3.
উঃ। বামপক্ষ = √108 – √75
_____ _____
= √6x6x3 – √5x5x3
= 6√3 –5√3 = √3 ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।
3. দেখাই যে, √98 + √8 –2√32 = √2
বামপক্ষ = √98+√8-2√32
_____ _____ _____
= √7x7×2+√2x2x2-2√4x4x2
=7√2 +2√2-8√2
=√2–8√2 = √2 = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
4. দেখাই যে 3√48-4√75 + √192 = 0
বামপক্ষ =3√48–4/75+ √192
______ ______ ______
= 3√4x4x3 - 4√5x5x3 + √8x8x3
=12√3 -20√3 +8√3
= 20√3–20√3 = 0 ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।
5. সরলতম মান নির্ণয় করি :
√12 + √18 + √27-√32
উঃ। √12 + √18 + √27 - √32
_____ ______ _______ ______
= √2x2x3 + √3×3 x 2 + √3 x 3 x 3 - √4x4x2
= 2√3+3√2+3√3-4√2
=5√3-√2
6. (a) √5 + √3 -এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল 2√5 হবে হিসাব করে লিখি।
উঃ। যোগ করতে হবে
=2√5-(√5 +√3)
=2√5 -√5-√3
= √5 - √3
(b) 7–√3 এর থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োকফল 3+√3 হবে নির্ণয় করি।
উঃ। বিয়োগ করতে হবে
=(7-√3) (3+√3)
=7 - √3 -3 - √3=4-2√3
(c) 2 + √3, √3 + √5 এবং 2+ √7 এর যোগফল লিখি।
উঃ। যোগফল =2+√3+√3+√5+2+ √7 =4+2√3+√5 +√7)
(d) (10-√11) থেকে (-5+3√11) বিয়োগ করি ও বিয়োগফল লিখি।
উঃ। বিয়োগফল =(10-√11)-(-5+3√11)
= 10-√11 +5-3√11
=15-4√11
(c) (−5+√7) এবং (√7 + √2) এর যোগফল থেকে (5+√2+√7) বিয়োগ করে বিয়োগফল নির্ণয় করি।
উঃ। নির্ণেয় বিয়োগফল
=(-5+√7+√7+√2) - (5+√2+√7)
=-5+2√7+2-5-2√7-10+√7
= √7-10
প্রয়োগ 25 ঃ নীচের মিশ্র ও শুদ্ধ দ্বিঘাত করণীগুলির অনুবন্ধী করণী লিখি।
(1) 2+√3
(ii) 5√2 (iii) √5-7 (iv) √11+6 (v) √5
উঃ। (i) 2+√3 এর অনুবন্ধী করণী 2 – √3
(ii) 5-√2 এর অনুবন্ধী করণী 5+√2
(iii) √5–7 এর অনুবন্ধী করণী –√5-7
(iv) √11+6 এর অনুবন্ধী করণী –√11+6 = 6 - 11
(v) √5 এর অনুবন্ধী করণী –√5
কষেদেখি 9.2
1 (a) 3½ ও √3 এর গুণফল নির্ণয় করি।
গুণফল =3½ × 3½ =3½+½. =3
(b) 2√2 -কে কত দিয়ে গুণ করলে গুণফল 4 পাব লিখি।
উঃ। নির্ণেয় সংখ্যা
4
4 ÷ 2√2 =-----
2√2
4×√2
=----------
2√2×√2
4×√2
=----------
2×2
4×√2
=--------
4
= √2
(c) 3√5 এবং 5√3-এর গুণফল নির্ণয় করি।
উঃ। 3√5×5√3
= (3×5)×√5 × √3
=15×√5x3
= 15√15
(d) √6 × √15 = x√10 হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান+
√6 × √15 = x√10
____
বা,√6×15 = x√10
__________
√2×3×3×5×5 = x√10
বা,3√10 = x√10
: x =3
(e) (√5+√3)(√5 – √3) = 25-x’ একটি সমীকরণ হলে x-এর মান হিসাব করে লিগ্নি।
উঃ।' (√5 + √3)(√5-√3) = 25 - x²
বা,(√5)² - (√3)²= 25 - x²
বা,5-3 = 25 - x²
বা,2 = 25 - x²
বা, x² = 25-2 =23
:. x=. ±√23
2. গুণফল নির্ণয় করি :
(a)√7 × √14
=√7×√7×√2
=7√2
(b) √12x2√3
উঃ। 2√3×2√3
=4×3=12
(c) √5 × √15 × √3
উঃ। √5x3x15 = √15x15 = 15
=8√6+12√4+2/15+3/10
=8√6+12×2+2√15+3/10 = 8√6+24+2/15+3/10
:. নির্ণেয় গুণফল = 8/6+24+2√15+3/10
(d) √2 (3+√5)
উঃ। √2(3+√5)
= 3√2 + √10
(e) (√2 +√3)(√2 –√3)
উঃ। (√2 + √3) (√2. √3)
=(√2)² -(+√3)²
= 2 - 3 = – i
:. নির্ণেয় গুণফল = - 1
(f) (2√3+3/2)(4√2+√5)
সমাধান ঃ (2√3+3/2)(4√2+√5)
=8√6+12√4+2√15+3√10
=8√6+12√2×2+2√15+3√10
=8√6+24+2√15+3√10
গুণফল=8√6+24+2√15+3√10
(g) (√3+1)(√3-1)(2-√3)(4+2√3))
উত্তর-(√3+1)(√3 −1)(2– √3)(++2√3)
={(√3+1)(√3-1)} {(2-√3)(4+2√3)}
= {(√3)² - (1)²})(2-√3) (4+2√3)
=(3-1)(2-√3)(4+2√3)
= 2(2-√3)(4+2√3)
= (4-2√3)(4+2√3)
= (4)²-(2√3)²
= 16 – 4 × 3
= 16 – 12 = 4(উঃ)
3. (a) √5 -এর করণী নিরসক উৎপাদক Vx হলে, x-এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে তা হিসাব করে লিখি।
(যেখানে x একটি পূর্ণসংখ্যা)
উঃ। √5 -এর করণী নিরসক উৎপাদক k:√5
(k একটি অশূন্য মূলদ সংখ্যা)
:: √x = k√5
বা, √x =1.√5 [k-এর মান 1]
: x = 5
ab+1= Sv
(b) 3√2 + 3-এর মান নির্ণয় করি।
উঃ। 3√2 ÷ 3 = √2
(c) 7 + √48-এর হরের করণী নিরসন করতে হরকে ন্যূনতম কত দিয়ে গুণ করতে হবে তা লিখি।
উঃ। 7 ÷ √48
7
----
= √48
7
_____
√4x4x3
7
= ----
4√3
এখানে লব বা হরকে ন্যূনতম √3 দিয়ে গুণ করলে ভাগফলটি মূলদ হবে।
::. নির্ণেয় উত্তর = √3.
(d) (√5+2)-এর করণী নিরসক উৎপাদক নির্ণয় করো যা করণীটির অনুবন্ধী করণী।
উঃ। (√5 +2)-এর অনুবন্ধী করণী = 2-√5 (উত্তর)।
e) (√5 + √2) ÷√7 = ⅐(√35+a)হলে a-এর মান নির্ণয় করি।
উঃ। (√5 +√2) ÷ √7 =⅐ (√35 + a)
বা, √5 + √2
------- = ⅐ (√35 +a)
√7
বামদিকে লব ও হরকে √7 দিয়ে গুণ করলে,.
, (√5 + √2)√7 (√35 +a)
বা, ------------ = -------
√7×√7 7
√35√14 √35 +a
বা, ---------- = -------
7 7
বা, √35√14 = √35 +a
.:. a = √14
(f)
5
------এর হরের একটি করণী নিরসক
√3+2
উৎপাদক লিখি যা অনুবন্দী করণী নয়।
উঃ। √3+2
4. (9–4√5) ও (−2– √7) মিশ্র দ্বিঘাত করণীদ্বয়ের অনুবন্দী করণীদ্বয় লিখি।
উঃ। 9-4√5 এর অনুবন্ধী করণী 9+4√5
-2 - √7 এর অনুবন্ধী করণী -2+√7
5. নীচের মিশ্র দ্বিঘাত করণীর ২টি করে করণী নিরসক উৎপাদক লিখি—
(1) √5 + √2
উঃ-√5 +√2 এর 2টি করণী নিরসক উৎপাদক হল √5-√2, √5+√2
(ii) 13+√6
উঃ- 13+√6 এর 2টি করণী নিরসক উৎপাদক হল 13-√6, −13+√6
(iii) √8-3
উঃ: √8–3 এর 2টি করণী নিরসক উৎপাদক হল –√8–3, √8+3
(iv) √17 - √I5
উঃ: √17 - √15 এর 2টি করণী নিরসক উৎপাদক হল √17+√15, -√17 - √15
6. হরের করণী নিরসরণ করি :
2√3+3√2
(i)----------
√6
(2√3+3√2)×√6
=---------------
√6×√6
2√18+3√12
=-----------
6
6√2+6√3
=-----------
6
6(√2+√3)
=-----------
6
= √2+√3
√2-1+√6
(i1)----------
√5
(√2-1+√6)×√5
= --------------
√5×√5
√10-√5+√30
= -------------- ((উঃ)
5
√3+1
(iii)--------
√3-1
(√3+1)(√3+1)
= --------------
(√3-1)(√3+1)
3+1+2√3
= --------------------
(√3)² -(√1)²
4+2√3
= ----------
3-1
2(2+√3)
= -------------
2
= 2+√3
3+√5
(iv)--------
√7-√3
3+√5( √7+√3)
= ----------------
√7-√3( √7+√3)
3√7+√35+3√3+√15
= ----------------------------
(√7)²-(√3)²
3√7+√35+3√3+√15
= ------------------------------(উঃ,)
4
3√2+1
(v)----------
2√5-1
(3√2+1)(2√5+1)
= ------------------------
(2√5-1)(2√5+1))
6√10+3√2+2√5+1
= ----------------------------
(2√5)²- (1)²
6√10+3√2+2√5+1
= -----------------------------
20-1
6√10+3√2+2√5+1
= ---------------------------
19
3√2+2√3
(vi)--------------
3√2-2√3
(3√2+2√3) (3√2+2√3)
= -----------------------------
(3√2-2√3) (3√2+2√3)
18+12+12√6
= ----------------------
(3√2)² - (2√3)²
30+12√6
= -----------------
18-12
30+12√6
= --------------(উঃ,)
6
7. প্রথমটিকে দ্বিতীয়টি দিয়ে ভাগ করে ভাজককে মূলদ সংখ্যায় পরিণত করি।
(1) 3√2+√5, √2+1
উঃ। 3√2+√5)
-------------
√2+1)
3√2+√5)( √2-1)
= -----------------------
√2+1)( √2-1)
6+√10+3√2-√5
= ------------------------
2-1
6+√10+3√2-√5
= --------------------
1
= 6+√10+3√2-√5
(ii) 2√3-√2, √2-√3
উত্তর:-
2√3-√2
----------
√2-√3
2√3-√2)( √2+√3)
=--------------------------
( √2-√3 )(√2+√3 )
2√6-2+6-√6
=----------------------
( √2)²- (√3)²
√6+4
= ----------
2-3
√6+4
= ---------
- 1
= 4+√6 (উঃ)
(iii) 3+ √6, √3+ √2
উঃ- 3+ √6,
----------------
√3+ √2
(3+ √6)(√3- √2)
= -------------------------
(√3+ √2)(√3-√2)
3√3+ 3√2 -3√2-2√3
= ----------------------------
(√3)² - (√2)²
√3
= -----------
1
=√3
৪. মান নির্ণয় করি :
2√5+1 4√5-1
উঃ। (i) ---------- – ---------
√5+1 √5-1
(2√5+1)( √5-1) – (4√5-1)( √5+1)
=----------------------------------------------
( √5+1) ( √5-1)
10+√5–2√5–1–20–4√5+√5+1
=----------------------------------------------
( √5) ²- (1)²
- 10-4√5
=--------------
5-1
- 2(5+2√5)
=-------------
4
(5+2√5)
= – ------------
2
8+3√2. 8-3√2
(iii) -----–---. – ---------–-
3+ √5. 3– √5.
(8+3√2)( 3– √5) – (8-3√2)(3+ √5)
= ---–-------------–---------------------------------
(3+ √5)(3– √5)
24+2√3-8√5-3√10-24-8√5+9√2+3√10
= ---–-------------–-------------------------------------
9-5
18√2-16√5
= ---–---------
4
2(9√2-8√5)
= ---–----------
4
9√2-8√5
= ---–----------(উঃ)
2
প্রয়োগ 32 : সরল করি :
3√20+2√28+√12
----------------------------
5√45+2√175+√75
______ _____ _____
3√2×2×5 +2√2×2×7 + √2×2×3
=-----------------------------------------------
_______ _______ _____
5√3×3× 5 + 2√5×5 ×7+√5x5x3
6√5 +4√7+2√3
=---------------------------
15√5+10√7+5√3
2(3√5 +2√7+√3)
=-------------------------
5(3√5 +2√7+√3)
2
=---(উত্তর)
5
প্রয়োগ 34:;
উত্তর-
5 1
-------- – ------------
√2+√3 √2-√3
প্রয়োগ:35:-
x=√3+√2 হলে
1 1. 1(√3-√2)
--- = -----------= ---------------------
x. √3+√2. (3+√2)(√3-√2)
√3-√2
=----------------
(√3)² - (√2)²
√3-√2
=----------
3-2
√3-√2
=----------
1
= √3-√2
1
x + --- =√3+√2 +√3-√2 = 2√3
x
1
x- --- =(√3+√2)-( √3-√2)
x
=√3+√2-√3+√2=2√2
1. 1. 1. 1
x³- --- =( x +---)³ - 3 ---( x+ --)
x³ x. x. x
= (2√3)³-3.1.2√3
= 24√3-6√3
=18√3
1. 1. 1
x²- --- = (x+ --)(x- ---)
x² x x
=2√3.2√2 =4√6
কষেদেখি 9.3
1
(a) m+ -- =√3 হলে
m
1. 1. 1
(i) m²+ --= (m+---)² - 2.m.--
m². m. m
= (√3)²-2। =3-2=1
1. 1 1 1
(¡¡) m³+ -- =( m+ ---)³ -3 m. -- (m+--)
m³ m m m
=( √3)³. - 3√3
=3√3-3√3 = 0
√5 + √3 √5 - √3
(b) দেখাই মে, -------- - ---------=2√15
√5 - √3 √5 + √3
√5 + √3 √5 - √3
বামপক্ষ= --------- - ---------
√5 - √3 √5 + √3
√5 + √3)(√5 + √3) -( √5 - √3)(√5 -√3)
= -------------------------------------------------------
(√5 - √3)(√5 + √3)
(√5 + √3)² - (√5 - √3)²
= ------------------------------------
(√5)² - (√3)²
5+3+2√15-(5+3-2√15)
= ------------------------------------
5 -3
8+2√15-8+2√15
= -------------------------
2
4√15
= ------------ = 2√15
2
2 সরলকরি
√2(2 + √3) √2(2 - √3)
--------- - ----------------------
√3(√3+1) √3(√3 - 1)
√2(2 + √3) (√3 - 1) - √2(2 - √3) (√3 + 1)
= -----------------------------------------------------------
√3(√3+1) (√3 - 1)
√2{(2√3-2+√3×√3-√3)-(2√3+2-√3×√3-√3)}
= -----------------------------------------------------------
√3(√3)²– (1)²
√2{(2√3-2+3-√3-2√3-2+3+√3)}
= ------------------------------------------
√3(3-1)
√2 ×2 √2 √2×√3 √6
= ------ = ----- = ----- =-----=------
√3 ×2 √3 √3×√3 3
(b) সরল করি :-
3√2 5√5 2√2
------ - ------ - --------
√5+√2 √2+√7 √7+√5
প্রদত্ত রাশিমালার প্রথম পদ
3√7 3√7 ( √5-√2)
= -------- = ----------------
√5+√2 √5+√2)(√5-√2)
3√7×√5-3√7×√2
= -----------------------------
( √5)²- (√2)²
3√35-3√14
= ---------------------
5- 2
3 (√35-√14)
= ----------------------
3
=√35-√14
প্রদত্ত রাশিমালার দ্বিতীয় পদ
5√5 5√5(√2-√7)
= -------- = ---------------------------
√2+√7 (√7+√2)( √7-√2)
5(√35-√10)
=. ------------------
(√7)² - (√2)²
5(√35-√10)
=. -----------------------
7 -2
5(√35-√10)
=. -----------------------
5
= √35-√10
প্রদত্ত রাশিমালার তৃতীয় পদ
2√2 2√2(√7-√5)
= -------- = ----------------------------
√7+√5 (√7+√5)( √7-√5)
2(√14-√10)
=. ----------------------
(√7)² - (√2)²
5(√14-√10)
=. -----------------------
7 -2
5(√14-√10)
=. -----------------------
5
= √14-√10
:: প্রদত্ত রাশিমালা
= (√35 – √14) – (√35 -√10) + (√14 – √10)
= √35 - √14 - √35 + √10 + √14 - √10
= 0
4√3 30 √18
(c) ----------. -. ----------. - ------- ------
√2+√2 4√3-√18 3-√12
উঃ। প্রদত্ত রাশিমালার প্রথম পদ
4√3 4√3 (2-√2)
= ------ = -------------------------
2+√2 (2+√2 )( 2-√2)
4√3x2+4√3×√2
=-------------------------
(2)² - (√2)²
8√3+4√6
= --------------
4- 2
4(2√3+√6)
=--------------
2
=2√(2√3+√6)
প্রদত্ত রাশিমালার দ্বিতীয় পদ
30 30
= ------ = -----------
4√3-√18 4√3-3√2
30(4√3+3√2)
= ---------------------------------
(4√3-3√2) (4√3+3√2)
30(4√3)+30(3√2)
= ---------------------------------
(4√3-3√2) (4√3+3√2)
30(4√3)+30(3√2)
= ---------------------------------
(4√3)²- (3√2)²
30(4√3)+30(3√2)
= ---------------------------------
(16×3)-(9×2)
30(4√3)+30(3√2)
= ------------------------------
48 -18
30(4√3+3√2)
= -------------------------
30
= 4√3)+3√2)
প্রদত্ত রাশিমালার তৃতীয় পদ
√18 √18 3√2( 3+2√3)
= --------- = ------ = -----------------------------
3 - √12 3-2√3 (3+2√3)( 3+2√3)
3√2×3 + 3√2×2√3
= ---------------------------------
( 3)² - (2√3)²
9√2 + 6√6
= -------------------------
9 - 4×3
3(3√2 + 2√6)
= -------------------------
9 - 12
3(3√2 + 2√6)
= -------------------------
-3
= - (3√2 + 2√6)
. প্রদত্ত রাশিমালা _ = 2(2√3+√6)-(4√3+3√2)+(3√2+2√6)
= 4√3 +2√6 − 4√3 −3√2 + 3√₂+2√6
= 4√6
3√2 4√3 √6
(d)------- - - -------- - ----------
√3+√6 √6+√2 √2 +√3
সমাধান
3√2
প্রথম রাশি :---------
√3+√6
3√2 3√2 (√6-√3)
-------- = ---------------------------
√3+√6 (√6+√3 )-(√6+√3 )
3√2 (√6-√3)
= -------------------------
( √6)² - (√3)²
3√2 (√6-√3)
= -------------------------
6- 3
3√2 (√6-√3)
= -------------------------
3
= √2 (√6-√3)
4√3
দ্বিতীয় রাশি :--------
√6+√2
4√2 4√2(√6-√2)
------- = -----–------------------
√6+√2 √6+√2)(√6-√2)
4√2(√6-√2)
=---------------------
(√6)² - (√2)²
4√2(√6-√2)
=-------------------–----
6 - 2
4√2(√6-√2)
=-------------------–----
6 - 2
4√2(√6-√2)
=-------------------–----
4
= √2(√6-√2)
√6
তৃতীয় রাশি:----------
√2 +√3
√6 √6( √3 -√2 )
--------- = ------------------
√2 +√3 √3 +√2)( √3 -√2)
√6( √3 -√2)
=--------------------------
(√3)² -(√2)²
√6( √3 -√2 )
=--------------------------
(√3)² -(√2)²
√6( √3 -√2 )
=--------------------------
3-2
√6( √3 -√2 )
=--------------------------
1
= √6( √3 -√2 )
=√2(√6-√3)-√3 (√6-√2)+√6 (√3-√2)
=√12-√6-√18+√6+√18-√12
=0
3. যদি x = 2, y = 3 এবং z = 6 হয় তবে,
3√x 4√x √x
-------- - -------- - -----------
√3+√6 √6+√2 √2 +√3
এর মান হিসাব করে লিখি।
উঃ। x, y, z-এর প্রদত্ত সংখ্যামান বসিয়ে পাই
3√2 4√3 √6
-------- - -------- - -------------------
√3+√6 √6+√2 √2 +√3
সমাধান
3√2
প্রথম রাশি :---------
√3+√6
3√2 3√2 (√6-√3)
-------- = ---------------------------
√3+√6 (√6+√3 )-(√6+√3 )
3√2 (√6-√3)
= -------------------------
( √6)² - (√3)²
3√2 (√6-√3)
= -------------------
6- 3
3√2 (√6-√3)
= -------------------
3
= √2 (√6-√3)
4√3
দ্বিতীয় রাশি :--------
√6+√2
4√2 4√2(√6-√2)
------- = -----–------------------
√6+√2 √6+√2)(√6-√2)
4√2(√6-√2)
= ------------–----
(√6)² - (√2)²
4√2(√6-√2)
=-------------–----
6 - 2
4√2(√6-√2)
=------------–----
6 - 2
4√2(√6-√2)
=-------------–----
4
= √2(√6-√2)
√6
তৃতীয় রাশি:----------
√2 +√3
√6 √6( √3 -√2 )
--------- = -----------------------------
√2 +√3 √3 +√2)( √3 -√2)
√6( √3 -√2)
=--------------------------
(√3)² -(√2)²
√6( √3 -√2 )
=--------------------------
(√3)² -(√2)²
√6( √3 -√2 )
=--------------------------
3-2
√6( √3 -√2 )
=--------------------------
1
= √6( √3 -√2 )
=√2(√6-√3)-√3 (√6-√2)+√6 (√3-√2)
=√12-√6-√18+√6+√18-√12
=0
4. x=√7 + √6 হলে
1 1 1 1
(I) x- --- (ii) x + --- (iii)x²+ --- (iv)x³ + ---
x x x2 x³
এদের সরলতম মান নির্ণয় করি।
উঃ। x=√7+√6
1 1 1(√7-√6)
:.---= ------- =-----------------
x √7+√6 (√7+√6)(√7-√6)
(√7-√6)
= ------------
(√7)²-(√6)²
√7-√6
= ------------
7-6
√7-√6
= ------------
1
= √7-√6
1
(I) x- ---
x
= √7 + √6)-(√7 - √6)
= √7 + √6 − √7 + √6
= 2√6
1
(iI) x + ---=
x
=√7 + √6 + √7 - √6
=2√7
1 1 1
(iiI) x²+ ---=(x+ ---)² -2. x.---
x² x x
=(2√7)² -2
=28-2=26
1 1 1 1
(iv) x³+ ---= (x+ ---)³ –3.x.--- (x+ ---)
x³ x x x
=(2√7)³-3. 2√7
=56√7 - 6√3
=50√3
x+√x²-1 x - √x²-1
5. ------- + --------------------
x - √x²-1 x+√x²-1
সরলফল 14 হলে, x-এর মান কী কী হবে হিসাব করি।
সমাধান:;
____ ___
(x+√x²-1) (x - √x²-1)
= ------------------- + ---------------------
____ ___
(x - √x²-1) (x+√x²-1)
____ ___ ____ ____
(x+√x²-1)(x+√x²-1) + (x - √x²-1)((x-√x²-1)
= ------------------------------------------------------------------
____ ____
(x - √x²-1)(x+√x²-1)
____ ____ ____ ___
(x+√x²-1)(x+√x²-1) + (x - √x²-1)((x-√x²-1)
= ------------------------------------------------------------------
____
(x )²- (√x²-1)²
____ ____
x²+2x√x²-1 + x²-1+x² - 2x.√x²-1 +x²-1
= ----------------------------------------------------------
(x )²- (√x²-1)²
4x² -2
= ---------------------
x ²- x²+1
=4x²-2
আবার, প্রদত্ত করণীর মান 14 হলে,
4x² - 2 = 14
বা, 4x² = 14 + 2
বা, 4x² = 16
16
বা, x² = ----
4
= 4
√5+1
6. যদি a= ----
√5-1
√5-1
b= ------ হয় তবে নীচের মানগুলি নির্ণয় করি।
√5+1
a² + ab + b²
(I) ------------------------
a² - ab + b²
(a- b)³
(ii) -------------------
(a+ b)³
3a²+5ab+3b²
(iil) -------------------------
3a²-5ab+3b²
a ³+ b³
(iv) --------
a ³ -b³
√5 + 1 √5 - 1
a - b = ------ - --------------------
√5 - 1 √5 + 1
(√5 + 1)² - (√5 - 1)²
= -----------------------------
(√5 - 1)(√5 + 1)
5+2√5 +1-(5-2√5 +1)
= ---------------------------------
(√5)²-(1)²
4√5
= --------
5-1
4√5
= ------- = √5
4
আবার
√5 + 1 √5 - 1
a + b = ------ + --------------------
√5 - 1 √5 + 1
(√5 + 1)² + (√5 - 1)²
= -----------------------------
(√5 - 1)(√5 + 1)
5+2√5 +1+(5-2√5 +1)
= ---------------------------------
(√5)²-(1)²
12
= --------
5-1
12
= ------- = 3
4
আবার, ab =
√5 + 1 √5 - 1
আবার, ab = ------× ---------=1
√5 - 1 √5 + 1
a² + ab + b²
(I) ------------------------
a² - ab + b²
a² + 2ab + b²-ab
= ------------------------------
a² + 2ab + b²-3ab
(a+ b)²-ab
= ------------------------
(a+ b)²-3ab
(3)²-1 9-1 8 4
=. ------------- = -------- = ----= --- = 1 ⅓ (Ans)
(3)²-3×1 9-3 6 3
(a- b)³ (√5)³ 5√5
(ii) ------- =. ----- = ------(Ans)
(a+ b)³ (3)³ 27
3a²+5ab+3b²
(iil) -------------------------
3a²-5ab+3b²
3(a²+b²) + 5ab
= -------------------------
3(a²+b²) - 5ab
3{(a+b)²-2ab} + 5ab
= -------------------------------
3{(a+b)²-2ab} - 5ab
3{(3)²-2×1} + 5×1
= ----------------------------
3{(3)²-2×1} - 5×1
3×{9-2} + 5
= -----------------------
3×{9-2} - 5
3× 7 + 5 21+5 26 13 5
= ---------------- = -----= ----- =-------= 1--(Ans)
3×7 - 5 21-5 16 8 8
a ³+ b³
(iv) --------
a ³ -b³
(a+b)³ - 3ab(a+b)
= --------------------------------
(a-b)³ + 3ab(a-b)
(3)³ - 3×1(3)
= --------------------------
(√5)³ + 3×1(√5)
27 - 9
= -----------------------
5√5+3√5
18
= ---------
8√5
9
= ---------
4√5
9×√5
= --------------------
4√5×√5
9√5
= --------- (Ans)
20
7. যদি x = 2 + √3,y = 2 – √3 হয় তবে নিম্নলিখিতগুলির সরলতম মান নির্ণয় করি ঃ
1
(a) (i) x - --
x
1
(ii) y² + ---
y²
1
(ii) x³ - ---
x³
1
(iv) xy + ---
xy
উঃ। প্রথমে x এবং y-এর মান নির্ণয় করে পাওয়া যায়
x=2+√3
1 1 1(2-√3)
--- = ------ = ------------------------
x 2+√3 2+√3)(2-√3)
2-√3
=---------------------
(2)²-(√3)²
2-√3
=----------
4-3
2-√3
=---------------------
1
=2-√3
আবার, y = 2 –√3
1 1 1(2+√3)
--- = ------ = ------------------------
y 2-√3 2-√3)(2+√3)
2+√3
=---------------------
(2)²-(√3)²
2+√3
=----------
4-3
2+√3
=----------
1
=2+√3
1
(i) x - --=(2+√3)-(2-√3)= 2+√3-2+√3 = 2√3
x
1 1. 1
(ii) y² + ---= y²+ 2.y. --- + (---)²
y² y. y
1
= (x - -)² - 2
x
={(2-√3)+(2+ √3)}² - 2
={2-√3+2+ √3}² - 2
= {4}²-2
=16-2
=14
1 1 1 1 1
(ii) x³ - --- (x)³-(--)³ = (x---)³ + 3.x.--(x--)
x³ x x x. x
={2+√3-(2-√3)}³ +3.1: {(2+√3)-(2-√3)},
= (2√3)³ +3.2√3
=8.3√3+6√3
=24√3+6.√3
=30√3 (Ans)
1
(iv) xy + ---
xy
xy = (2+√3)(2-√3)=(2)²-(√3)²-4-3-1
1 1 + 1
:. 1 + ---- = -----=2 (Ans)
1 1
(b) 3x² –5xy + 3y²
উঃ। 3.x² –5xy+3y²
=3x² - 6xy +3y² +xy
=3(x² -2xy + y²) + xy
= 3(x – y)²+ xy
= 3{(2+ √3) −(2−√3)}² +(2 + √3)(2=-√3)
=3(2√3)² + {(2)²-(√3)²}
=3×4×3+(4–3)
=36+1
=37 (Ans)
√7+√3
8. x= --------- এবং xy = 1 হলে, দেখাই যে,
√7-√3
x² + xy + y² 12
--------------------=------
x² - xy + y² 11
√7+√3
. x= ---------
√7-√3
xy=1
1 √7-√3
y = ---- = -----------------
x √7+√3
√7+√3 √7-√3
x +y = ------- + ------------------
√7-√3 √7+√3
(√7+√3)² + (√7-√3)²
= --------------------------------
(√7-√3)(√7+√3)
(7+3+2√7 x√3)+(7 +3-2√7x√3)
= -----------------------------------------------------
(√7)²- (√3)²
20
= ------
7-3
20
= ------ = 5
4
এখন,
x² + xy + y²
----------------------
x² - xy + y²
(x + y)² - xy
=--------------------------
(x + y)² -3 xy
(√5)² - 1
=-----------------------
(√5)² -3 ×1
25 - 1
=-------------------
25 -3
24
=-----
22
12
=----- (প্রমাণিত)
11
9. (√7+1) এবং (√5 + √3 )-এর মধ্যে কোনটি রড়ো লিখি।
1). (√7 +1)² = 7+2√7 +1 = 8+2√7
=(√5 +√3)² =5+2√15+3=8+2√15
যেহেতু, √15 > √7, (√5 +√3)² > (/7+1)²
অথবা, (√5+√3)>(√7 +1), সুতরাং (√5+√3) বড়ো।
10. অতিরিক্ত সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A) (1) 19 (3
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
1
(i) x = 2+√3 হলে x+--- এর মান-
x
(a) 2 v(b) 2√3 (c) 4 (d) 2-√3
1 1
সমাধান:;---- = ----- = 2-√3
x 2+√3
1
x+ --- =2+√3 -√3+2-√3 =4
x
Ans (c)
(ii) যদি p+q=√13 এবং p-g=√5 হয়, তাহলে pg এর মান—
(a) 2
(b) 18
(c) 9
(d) 8
সমাধান ।
p+q p+q
pq =(----)²- ( ----)²
2 2
√13 √5
=(---- )² - ( ---)²
2 2
13 5
=--- - --------------
4 4
13 - 5
=------------------
4
8
=-----=3
4
: (a) উত্তরটি সঠিক।
(v) (5−√3)(√3-1)(5+√3)(√3+1) এর গুণফল—
(a)8
(b) 4
(c) 2
(d) 1
(iii) যদি a+b=√5 এর a-b=√3 হয় তাহলে (a2+b2)-এর মান-
(a) 8
(c) 2
(d) 1
2(a² +b²)
উঃ। a² + b² = ---------
2
(a+b)² + (a+b)²
=------------------------
2
(√5)³++(√3)³
= ----------------------
2
5+3 8
= ---- = ---- = 4
2 2
:: (b) উত্তরটি সঠিক।
(iv) √125 থেকে √5 বিয়োগ করলে বিয়োগফল হবে—
(a) √80
(b) 120 )
(c) / 100
(d) কোনটিই নয়
সমাধান:- √125-√5=5√√5-√5=4√5=√4x4x5=√80
(d) কোনটিই নয়
(v) (5-√3)(√3-1)(5+√3)(√3+1)
(a)22
(b) 44
(c)2
(d)11
(
={(5-√3)(5+√3)}{(√3-1)(√3+1)}
=(25–3)(3-1) = 22×2= 44
:: (b) উত্তরটি সঠিক।
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) √75 এবং √147 সদৃশ করণী
উত্তর;-সত্য
(ii) √π একটি দ্বিঘাত সরণী
উত্তর;-মিথ্যা
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) 5√11 একটি অমুলদ সংখ্যা।
(ii) (√3–5) এর অনুবন্ধী করণী -√3-5।
(iii) দুটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল ও গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা হলে করণীদ্বয় অনুবন্ধী করণী।
11. সংক্ষিপ্তধর্মী উত্তর প্রশ্ন (S.A.)
x=3+2√2 হলে x
1
x + -–এর মান লিখি।
x
1 1 3-2√2 3-2√2
সমাধান:- -- = --------- = ------------ =---------------
x 3+2√2 (3)²-(2√2)² 9-8
3-2√2
= -------
1
=3-2√2
1
:. x+ -- =3+2√2+3-2√2 =6(Ans)
x
(ii) (√15 +√3) এবং (√/10+√8) )-এর মধ্যে কোনটি বড় লিখি।
সমাধান:; (√15+√3)²
=15+3+2√45
= 18+2√45
(√10 + √8)²
=10+8+2√80
=18+2√80
:: √80> √45
√10+√8 > √15 +√3
(iii) দুটি মিশ্র দ্বিঘাত করণী লিখি যাদের গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা।
1 3+2√√5 3-2√5
(iv) √72 থেকে কত বিয়োগ করলে √32 হবে তা লিখি।
উঃ। বিয়োগ করতে হবে
= √72 - √32
= 6√2-4√2
= 2√2
1 1 1
(v) ------- + ------- + -------- এর সরলতম মান
√2+1 √3+√2 √4+√3
লিখি।
1 1 1
সমাধান ------- + ------- + -------------------
√2+1 √3+√2 √4+√3
√2-1 √3-√2
= --------------- + ------------------------------------ +
√2 +1)(√2−1) (√3 + √2)(√3 –√2)
√4-√3
----------------------------
(√4+√3)(√4 -√3)
√2-1 √3-√2 2-√3
= ----- + ------- + -----------
2-1 3-2 4-3
√2-1 √3-√2 2-√3
= ----- + --------- + ------------
1 1 1
=√2-1+√3 - √2 + 2 =√3=1
::. নির্ণেয় সরলফল 11
সমাহার বৃদ্ধি সমাধান দেখুন 6.2 অধ্যায়