লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দশম শ্রেণীর গণিত কষেদেখি আট সমাধান
 |
দশম শ্রেণীর গণিত
লম্ব বৃত্তাকার চোঙ
কষে দেখি – ৪
1. পাশের চিত্রের ঘনবস্তুটি দেখি ও নীচের প্রশ্নের উত্তর লিখি।
1. (i) ছবির ঘনবস্তুটির 3 টি তল।
(ii) ছবির ঘনবস্তুটির । টি বক্রতল ও 2 টি সমতল।
2. আমার বাড়ির 5টি ঘনবস্তুর নাম লিখি যাদের আকার লম্ব বৃত্তাকার চোঙ।
উঃ। গ্যাস সিলিন্ডার, কাচের গ্লাস, জলের পাইপ, গোলাকার পেনসিল, টিউবলাইট।
3.স্টিলের পাতলা চাদর দিয়ে তৈরি ঢাকনা সমেত একটি ড্রামের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 28 সেমি। ড্রামটি তৈরি করতে যদি 2816 বর্গসেমি চাদর লাগে তবে ড্রামটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
উঃ। মনে করি, ড্রামটির উচ্চতা = h সেমি।
28
ড্রামটির ব্যাসার্ধ = ---- = 14 সেমি।
2
প্রশ্নানুসারে, 2xrh = 2816
22
বা, 2 × --- ×14 × h = 2816
7
44
বা,------×14 × h = 2816
22
বা, 88h = 2816 বা, h =32
.: h = 32 :: ড্রামটির উচ্চতা 32 সেমি।
4. একটি ঘরের বারান্দায় 5.6 ডেসিমি. ব্যাসের এবং 2.5 মিটার লম্ব দুটি লম্ব বৃত্তাকার পিলার ঢালাই করতে কত ঘনডেসিমি মশলা লাগবে হিসাব করে লিখি। প্রতি বর্গমিটার 125 টাকা হিসাবে পিলার দুটি প্লাস্টার করতে কত খরচ হবে হিসাব করি।
উঃ। প্রতিটি পিলারের উচ্চতা h = 2.5 মি
= 25 ডেসিমি.।
5.6
প্রতিটি পিলারের ব্যাসার্ধ= -------- = 2.8 ডেসিমি।
2
পিলার দুটি ঢালাই করতে মশলা লাগবে
= 2 x x(2.8)² × 25 ঘনডেসিমি।
22 28 28
= 2× --- × ------- × ------- × 25
7 10. 10
= 56 × 22 = 1232 ঘনডেসিমি।
পিলার দুটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2 × 2nx 2.8 × 25 বর্গডেসিমি
22 28
=2×2× ------ × ------ × 25
7 10
= 880 বর্গডেসিমি
= 8.80 বর্গমি।
8581
:. প্রতি বর্গমিটার 125 টাকা হিসাবে পিলার দুটি প্লাস্টার করতে খরচ হবে
= (8.8×125) টাকা
= 1100 টাকা।
5. 2.8 ডেসিমি দৈর্ঘ্যের অন্তর্ব্যাসবিশিষ্ট এবং 7.5 ডেসিমি. লম্ব। একটি জ্বালানি গ্যাস সিলিন্ডারে 15.015 গ্যাস থাকলে, প্রতি ঘন ডেসিমি. গ্যাসের ওজন হিসাব করে লিখি।
উঃ। গ্যাস সিলিন্ডারে গ্যাস আছে
= 15.015 বিগ্ৰা = 15015 গ্রাম।
2.8
গ্যাস সিলিন্ডারে ব্যাসার্ধ =------- 1.4 ডেসিমি।
2
গ্যাস সিলিন্ডারের আয়তন
= n(1.4)² × 7.5 ঘনডেসিমি।
22 196 75. 462
=-------- × ------- × ----- = ------=46.2 ঘনডেসিমি
7 100 10 10
প্রতি ঘনডেসিমি গ্যাসের ওজন
15015
=-----------= 325 গ্ৰাম।
46.2
6. সমান ব্যাস ও সমান উচ্চতা বিশিষ্ট তিনটি জারের প্রথমটির অংশ ⅔, দ্বিতীয়টির ⅚ অংশ ও তৃতীয়টির
7/9 অংশ লঘু সালফিউরিক অ্যাসিডে পূর্ণ ছিল। ওই তিনটি জারের অ্যাসিড যদি 2.1 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি জারে রাখা হয়, তবে জারে অ্যাসিডের উচ্চতা 4.1 ডেসিমি হয়। প্রথম তিনটি জারের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 1.4 ডেসিমি হলে, তাদের উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
উঃ। মনে করি, প্রথম তিনটি জারের উচ্চতা
= h ডেসিমি।
প্রশ্নানুসারে,
2 5 7 21
(----–+ ------ + -–-) ×h =π (------)²×4.1
3 6 8 2
12+15+14 196 441 41
= ----------------- × h =-–---- ×---------= ------
18 400 400 10
41 196 441 41
= ------×--------- × h = -–------ ×------
18 400 400 10
441 41 400 18
বা, h =---------×-----×---–---- ×--------
400 10 196 41
81
= -–----- = 4.05 ডেসিমি
20
প্রতিটি জারের উচ্চতা 4.05 ডেসিমি।
7. একমুখ খোলা একটি লম্ব বৃত্তাকার পাত্রের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 2002 বর্গসেমি। পাত্রটির ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি. হলে, পাত্রটিতে কত লিটার জল ধরবে হিসাব করে লিখি।
উঃ। মনে করি, পাত্রটির উচ্চতা = n সেমি।
14
পাত্রটির ভূমির ব্যাসার্ধ --------- =7 সেমি।
2
প্রশ্নানুসারে, 2n x 7 x h + n(7)² = 2002
22 22
বা, 2 x------ × h + ------×49= 2002
7 7
বা, 44h = 2002- 154
বা, 44h = 1848
1848
বা, h = -------- =42
44
পাত্রটির উচ্চতা = 42 সেমি
= 4.2 ডেসিমি।
পাত্রটির ব্যাসার্ধ = 7 সেমি = 0.7 ডেসিমি।
পাত্রটিতে জল ধরে = n(0.7)² × 4.2 ঘন ডেসিমি।
22 49 42
= -----× ---–---× -------ঘন ডেসিমি
7 100 10
6468
= -----------ঘন ডেসিমি
1000
=6.468 ঘন ডেসিমি
= 6.468 লিটার [ : 1 ঘন ডেসিমি = 1 লিটার ]
8. যদি 14 সেমি ব্যাসের পাইপযুক্ত একটি পাম্পসেট মিনিটে 2500 মিটার জল সেচ করতে পারে, তাহলে ওই পাম্পটি 1 ঘন্টায় কত কিলোলিটার জলসেচ করবে, হিসাব করে লিখি।
1 লিটার = 1 ঘন ডেসিমি ]
14
উঃ। পাইপের ব্যাসার্ধ = ------=7 সেমি= 0.7ডেসিমি
2
পাইপের উচ্চতা = 2500 মি = 25000 ডেসিমি।
পাইপটি দিয়ে 1 ঘণ্টায় জল সেচ করা যায়
=60 ×π(0.7)×25000 ঘনডেসিমি
22 49
=60 ×-------× -------×25000 ঘনডেসিমি
7 100
= 154 × 15000 ঘন ডেসিমি
=2310000 লিটার = 2310 কিলোলিটার।
9.7 সেমি. ব্যাসের একটি লম্বা গ্যাসজারে কিছু জলে আছে। ওই জল যদি 5.6 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের 5 সেমি লম্বা একটি নিরেট লোহার লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি টুকরো সম্পূর্ণ ডোবানো যায়, তবে জলতল কতটুকু উপরে উঠবে হিসাব করে লিখি।
উঃ। মনে করি জল h সেমি উপরে উঠবে।
প্রশ্নানুসারে,
7 5.6
π(-----)²×h = π(-----)²×5
2 2
7 5.6
বা,(----)²×h = (-------)²×5
2 2
49 28 28
বা, ------× h = ----- × ------- × 5
4 10 10
28 28 5 4
বা, h = ------- × -------- × --–-- × ------
10 10 1 49
32
= -------- = 3.2
10
:: জলতল 3.2 সেমি উপরে উঠবে।
10. একটি লম্ব চোঙাকৃতি স্তম্ভের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গমিটার এবং আয়তন 924 ঘনমিটার হলে এই স্তম্ভের ব্যাসের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
উঃ। মনে করি ঐ স্তম্ভের ব্যাসার্ধ = r মিটার
ও উচ্চতা = h মিটার।
১ম শর্তানুসারে, 2π r h = 264......(i).
২য় শর্তানুসারে, π r²h= 924 ......( ii)
π r²h 924
(¡) ÷ (¡¡) = ------------- = ----------
2π r h 264
924
বা, r = ------------ = 7
132
(¡)নং থেকে পাই 2π r h = 264
22
2 × --–---- × 7 × h = 264
7
264
বা,h = ----------- = 6
44
স্তম্ভের ব্যাস = (2 × 7) = 14 মিটার ।
উচ্চতা = 6 মিটার।
11.9 মিটার উচ্চতা বিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি ট্যাঙ্ক জলপূর্ণ আছে। 6 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি পাইপ দিয়ে মিনিটে 225 মিটার বেগে জল বের হয়, তাহলে 36 মিনিটে ট্যাঙ্কটির সমস্ত জল বেরিয়ে যায়। ট্যাঙ্কটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
উঃ। ধরি, ট্যাঙ্কটির ব্যাসার্ধ = r মিটার।
6 3
পাইপটির ব্যাসার্ধ =------=3 সেমি =-------মি.
2 100
প্রশ্নানুসারে,
3
π × r² ×9=36 × π (---------)² × 225
100
36 × 9 × 225
বা, r² = ---------------------
100 × 100 × 9
9
:. r = ------
19
8 18
: ট্যাঙ্কটির ব্যাস = 2 x-----= ------- = 1.8 মি
10 19
= 1.8 মিটার = 180 সেমি।
12, সমান ঘনত্বের একটি লম্ববৃত্তাকার কাঠের গুড়ির বক্রতলের ক্ষেত্রফল 440 বর্গডেসিমি। এক ঘনডেসিমি কাঠের ওজন 1.5 কিগ্রা এর গুঁড়িটির ওজন 9.24 কুইন্ট্যাল হলে, গুঁড়িটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
উঃ। গুঁড়িটির ওজন = 9.24 কুইন্ট্যাল
= 924 কিগ্রা
924
গুঁড়িটির আয়তন = ---------- ঘনডেসিমি
1.5
= 616 ঘনডেসিমি।
ধরি গুঁড়িটির ব্যাসার্ধ = r ডেসিমি
এবং উচ্চতা = h ডেসিমি।
১ম শর্তানুসারে 2nrh = 440... (i)
২য় শর্তানুসারে πr²h = 616 ...(ii)
πr²h 616
(ii) ÷ (i) =--------- = ----------
2nrh 440
(¡)নং থেকে পাই 2π r h = 400
22 28
2 × ------- × ------- × h = 400
7 10
100
বা,h = ---------- = 25
4
স্তম্ভের ব্যাস =
28
বা,2 × ---------- = 2.8 ডেসিমি
19
:.ব্যাস = 5.6 ডেসিমি
এবং উচ্চতা = 25 ডেসিমি।
পাইপটির উচ্চতা 14.7 মি = 147 ডেসিমি।
পাইপটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
13. দুই মুখ খোলা একটি লম্ব বৃত্তাকার লোহার পাইপের মুখের বহিব্যাসের দৈর্ঘ্য 30 সেমি। আন্তবাসের দৈর্ঘ্য 26 সেমি এবং পাইপটির দৈর্ঘ্য 14.7 মিটার। প্রতি বর্গ ডেসিমি 2.25 টাকা হিসাবে ওই পাইপটির সমগ্রতলে আলকাতরার প্রলেপ দিতে কত খরচ হবে তা হিসাব করে লিখি।
উঃ। পাইপটির অন্তঃব্যাসার্ধ
26
----- =13 সেমি
2
= 1.3 ডেসিমি।
পাইপটির বর্হিঃব্যাসার্ধ ------=ডেসিমি
30
----- =15 সেমি
2
= 1.5 ডেসিমি।
=[2π(1.5+1.3)×147+2π{(1.5)²−(13)²}] বৰ্গ ডেসিমি।
=[2πx 2.8×147 + 2π×2.8×0.2] বর্গ ডেসিমি।
22
2 × --------- × 2.8×147.2 বর্গ ডেসিমি
2
= 17.6 × 147.2 বর্গ ডেসিমি
= 2590.72 বর্গ- ডেসিমি।
পাইপটি আলকাতরা লাগাতে খরচ হবে
= (2590.72 × 2.25) টাকা = 5829.12 টাকা।
14. একটি দুইমুখ খোলা লোহার লম্ববৃত্তাকার ফাঁপা চোঙের উচ্চতা 2.8 মিটার। চোঙটির অন্তঃ-ব্যাসের দৈর্ঘ্য 46 ডেসিমি এবং চোঙটি 84.48 ঘন ডেসিমি লোহা দিয়ে তৈরি হলে, চোঙটির বহিব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
উঃ। ধরি, চোঙটির বর্হিঃব্যাসার্ধ = r ডেসিমি। চোঙটির উচ্চতা = 2.8 মি= 28 ডেসিমি।
4.6
চোঙটির অন্তর্ব্যাসার্ধ্য= -------=2.3 ডেসিমি
2
প্রশ্নানুসারে,
π {r² - (2.3)²}×28= 84.48
22 8448
বা, ----- ( r²–5.29) × 28 = --------
7 100
8448 1
বা,r² - 5.29 = -----------+ --------
100 88
বা, r² = 0.96 + 5.29 = 6.25
বা, r² =6.25
বা, r = √6.25 = 2.5
: চোঙটির বর্হিঃব্যাস = (2 × 2.5) = 5 ডেসিমি।
15, একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা উহার ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। যদি তা 6 গুণ হতো তবে চোঙটির আয়তন 539 ঘনডেসিমি বেশি হতো। চোঙটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
উঃ। মনে করি চোঙটির উচ্চতা = h ডেসিমি ও ব্যাসার্ধ = r ডেসিনি।
এখানে h = 2r
এখন h = 6r হইলে চোঙটির আয়তন হবে
= (πr² x 6r) = 6nr³ ঘন ডেসিমি।
প্রশ্নানুসারে,
6πr³ – 2πr³ = 539
বা, 4πr³ = 539
22
বা,4 ------- r² =539
7
539 × 7
r³=---------
4 × 22
343 7
= r³ = -------- =(------)³
8 2
7
বা, r= ----
2
বা,2r = 7
:: চোঙটির উচ্চতা (h) = 2r = 7 ডেসিমি।
16. ফায়ার ব্রিগেডের কোনো একটি দল একটি জলভরতি লম্ব বৃত্তাকার ট্যাঙ্কারের জল 2 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের তিনটি হোস পাইপ দিয়ে মিনিটে 420 মিটার বেগে ঢেলে 40 মিনিটে আগুন নেভাল। যদি ট্যাঙ্কারটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2.8 মিটার এবং দৈর্ঘ্য 6 মিটার হয়, তবে (i) আগুন নেভাতে কত জল খরচ হয়েছে এবং (ii) ট্যাঙ্কারে আর কত জল রয়েছে নির্ণয় করি।
2.8
উঃ। ট্যাঙ্কারটির ব্যাসার্ধ = ------- = 1.4 মিটার
2
= 14 ডেসিমি।
ট্যাঙ্কারটির দৈর্ঘ্য = 6 মিটার = 60 ডেসিমি।
ট্যাঙ্কারটির আয়তন
=r (14)² × 60 ঘন ডেসিমি।
22
= ------ × 196 ×60 ঘন ডেসিমি।
6
= 36960 ঘন ডেসিমি।
:. ট্যাঙ্কটিতে জল ধরে 36960 লিটার।
2
প্রতিটি হোসপাইপের ব্যাসার্ধ =------=1 সেমি
2
1
= ---- ডেসিমি
10
পাইপের দৈর্ঘ্য = 420 মিটার = 4200 ডেসিমি।
40 মিনিটে জল খরচ হবে
1
= 40x3×π (-------)²× 4200 লিটার।
10
22 1
= 40x3× -------×------× 4200 লিটার।
6. 100
= 15840 লিটার
:: ট্যাংকারের আর জল রয়েছে
= (36960 - 15840) লিটার = 21120 লিটার।
17. 17.5 সেমি. ব্যাসের 4টি লম্ব বৃত্তাকার ঢালাই পিলাইয়ের চারিপার্শে 3.5 সেমি পুরু বালি-সিমেন্টের প্লান্ট করতে হবে। (i) প্রতিটি পিলার যদি 3 মিটার লম্বা হয়, তবে কত ঘন ডেসিমি মশলা লাগবে হিসাব করে লিখি। প্লাস্টারের মশলা তৈরি করতে যদি 4:1 অনুপাতে বালি ও সিমেন্ট মেশাতে হয়, তবে কত ঘন ডেসিমি সিমেন্টে প্রয়োজন, হিসাব করে লিখি।
উঃ। (i) প্রতিটি পিলারের দৈর্ঘ্য = 3 মিটার
= 30 ডেসিমি।
17.5 175
প্রতিটি পিলারের অন্তঃব্যাসার্ধ= --------= ----সেমি
2 20
175 7
= --------- = ----ডেসিমি
200 8
প্রতিটি পিলারের বর্হিঃব্যাসার্ধ
7 3.5
=( -–-- + --–----)ডেসিমি
8 10
7. 35 7 7
=( -------+ -–----) = (--–---- + -----) ডেসিমি
8 100 8 20
35+14 49
= --------------- = -------- ডেসিমি
40 40
পিলারগুলি ঢালাই করতে মশলা লাগবে
49 7
= 4xπ {(-------–)² – (-------)²} ×30 ঘন ডেসিমি।
40 8
22 49 7 49 7
= 4x; -- (-------+-----)(------ - ------) ×30 ঘন ডেসি
7 40 8 40 8
22 49 + 35 49 - 35
= 4x----- (-------------)(-------------) ×30 ঘন ডেসি
7 40 40
22 84. 14
= 4x; --- × -------- × -------×30 ঘন ডেসিমি
7 40 40
2772
=---–-------- = 277.2 ঘন ডেসিমি
10
(ii) : সিমেন্ট লাগবে = 277.2 ×⅕ ঘনডেসিমি
= 55.44 ঘন ডেসিমি।
18. একটি লম্ব বৃত্তাকার ফাঁপা চোঙের বহিব্যাসের দৈর্ঘ্য 16 cm এবং অন্তব্যাসের দৈর্ঘ্য 12 cm। চোঙটির উচ্চতা 36 cm৷ চোঙটিকে গলিয়ে 2 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট এবং 6 সেমি দৈর্ঘ্যের কতগুলি নিরেট চোঙ তৈরি করা যাবে হিসাব করি।
উঃ। মনে করি, x টি নিরেট চোঙ তৈরি করা যাবে।
2 16 12
= x× π (------ )× 6 = π {(----– )²– (-------)²}×36
2 2 2
বা, x × 6 = {(8)² – (6)²} × 36
64-36) x 36
বা,, x =----------------= 28×6=168
6
:. 168 টি নিরেট চোঙ তৈরি করা যাবে।
19. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 3 এবং উচ্চতার অনুপাত 5 : 3 হলে তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত –
(a) 2:5
(b) 8:7
(c) 10:9
(d) 16.9
উঃ। বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= 2 × 2 × 5 : 2 × 3 × 3 = 10 : 9
: (c) উত্তরটি সঠিক।
(ii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 3 এবং উচ্চতার অনুপাত 5 : 3 হলে তাদের আয়তনের অনুপাত –
(a) 27:20
(b) 20:27
(c) 4:9
(c) 9:4
উঃ। তাদের আয়তনের অনুপাত =
x (2)² × 5 : n (3)² × 3
= 20:27
:: (b) উত্তরটি সঠিক।
(iii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের আয়তন সমান এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 1:2 হলে, তাদের ব্যাসার্ধের অনুপাত
=(a) 1:√√2
(b) √√2:1
(c) 1:2
(d) 2:1
πr²h = πrR²H= 1 :2
শর্তে, πr².x = πR².2x [মনেকরি h = x, H = 2x]
বা, r² =2R²
বা, r = √2R
r √2
বা,-- = ---
R 1
বা,r : R =√2 : 1
তাদের ব্যাসার্ধের অনুপাত √2:1
:: (b) উত্তরটি সঠিক।
(iv) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ হলে, চোঙটির আয়তন হবে পূর্বের চোঙের আয়তনের
(a) সমান
(b) দ্বিগুণ
(c) অর্ধেক
(d) 4 গুণ
উঃ। ধরি, চোঙের ব্যাসার্ধ = r একক
ও উচ্চতা = h একক হইলে
আয়তন (v) =π²rh।
r
এখন ব্যাসার্ধ------–একক
2
একক ও উচ্চতা = 2h একক হইলে
r 1 1
আয়তন (V) =π (-----)² × 2h = ---- πr²h= --
2 2 2
:: (c) উত্তরটি সঠিক।
(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ এবং উচ্চতা অর্ধেক করা হলে, বক্রতলের ক্ষে পূর্বের চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের
(a) সমান
(b) দ্বিগুণ
(c) অর্ধেক
(d)4 গুণ
উঃ। ধরি, চোঙের ব্যাসার্ধ = r একক
ও উচ্চতা
v = 2nrh
এখন ব্যাসার্ধ = 2r
r
উচ্চতা ----একক হইলে আয়তন
2
h
V = 2r (2r) × ------ = 2nrh = 4
2
: (a) উত্তরটি সঠিক।
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) একটি লম্ব চোঙাকৃতি ড্রামের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r` সেমি এবং উচ্চতা h সেমি। ড্রামের অর্ধেক।
থাকলে, জলের আয়তন হবে xr²h ঘনসেমি।
উঃ। (মিথ্যা)
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2 একক হলে, চোঙটির যে কোন উচ্চতার জন্য চোঙটির আয়তন এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হবে।
উঃ। (সত্য)
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) একটি আয়তক্ষেত্রাকার কাগজের দৈর্ঘ্য। একক এবং প্রস্থ b একক। আয়তক্ষেত্রাকার কাগজটিকে মুড়ে একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হল যার পরিধি কাগজটির দৈর্ঘ্যের সমান। চোঙটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল Ib বর্গএকর।
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 3 সেমি এবং উচ্চতা 4 সেমি। চোঙটির ভিতর সর্বাপেক্ষা লম্বা যে দন্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য 5 সেমি।
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হলে চোঙটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 4একক।
20. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙাকৃতি স্তম্ভের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গমি এবং আয়তন 924 ঘনমিটার হলে, স্তম্ভের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত লিখি।
উঃ। মনে করি, স্তম্ভটির ভূমির ব্যাসার্ধ = r মি ও উচ্চতা = h মিটার।
১ম শর্তানুসারে 2πrh = 264......(i)
২য় শর্তানুসারে πr²h = 924....(ii)
r 924 924
(ii) ÷ (i) = ----= ---- বা, r=-------=7
2 264 132
:: চোঙটির স্তম্ভের ভূমির ব্যাসার্ধ = 7 মিটার।
(ii) একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল c বর্গএকক, ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং আয়তন v ঘনএকক হলে
cr
---- এর মান কত তা লিখি।
v
উঃ। ধরি, চোঙটির উচ্চতা = h একক
cr 2πrh×r
= ---- = -------=2
v. π r²h
(iii) একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 14 cm এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গসেমি হলে চোঙটির আয়তন কত তা লিখি।
উঃ। মনে করি, চোঙটির ভূমির ব্যাসার্ধ = r সেমি।
প্রশ্নানুসারে, 2rrh = 264
22
2× --- x r x 14 = 264
7
264
বা, r = ------
88
বা, r = 3
চোঙটির আয়তন = n(3)²x14 ঘন সেমি
22
= ----- × 9 × 14 ঘন সেমি
7
= 396 ঘন সেমি।
(iv) দুটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1 : 2 এবং ভূমির পরিধির অনুপাত 3 : 4 হইলে তাদের আয়তন অনুপাত কত তা লিখি।
উঃ। মনে করি, চোঙদুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r একক ও R একক
ও উচচতা hও 2h একক। নি
প্রশ্নানুসারে, 2nr: 2nR = 3:4
বা, r: R=3:4
3R
বা, r = ---
4
:: আয়তনের অনুপাত
= n(r)² ×h : n(R)² × 2h
3R
=( ----)² : 2R²
4
= 9R² : 32R² = 9:32
(v) একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% হ্রাস করা হল এবং উচ্চতা 50% বৃদ্ধি করা হলো।চো ঙটির আয়তনের শতকরা কত পরিবর্তন হবে তা লিখি।
উঃ। মনে করি, চোঙটির ব্যাসার্ধ = r একক
ও উচচতা h একক।
:: আয়তন (v) =nr²h ঘন একক।
.
: চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% হ্রাস পেলে হয়
50r r
------- = -----একক
100 2
চোঙের উচ্চতা 50% বৃদ্ধি পেলে হয়
150h 3h
------- = -----একক
100 2
r 3h 3
.: আয়তন (V)=π(-----)× ----- = -----πr²hঘন
2 2 8
πr²h - 3/8 πr²h
এখন আয়তন হ্রাস=---------------×100}%
π π
5
= (-----)×100%
8
500
= -------%
8
=62 ½%