নবম শ্রেণীর গণিত কষেদেখি ১৫.১ সমাধান
 |
নবম শ্রেণীর গণিত
কষেদেখি ১৫.২
ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল
(1) কামালদের বাগানের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখ।
(ii) প্রতি বর্গমিটায়ে 30 টাকা হিসাবে কামালদের বারান্দার মেঝে মেরামত করতে কত খরচ হবে হিসাব করে লিখি।
(ii) কামাল তার পড়ার ঘরের মেঝেতে টালি বসাতে চায়। যদি প্রতিটি টালি 25 সেমি × 25 সেমি হয় তবে তার পড়ার মেঝেতে টালি বসাতে কতগুলি টালি লাগবে হিসাব করে দেখ।
সমাধান:-কামালদের বাগানের দৈর্ঘ্য 20 মিটার।
প্রস্থ =20 মিটার।
কামালদের বাগানের ক্ষেত্রফল
=দৈঘ্য × প্রস্থ = (20×20)মিটার
= 400 বর্গমিটার।
(ii) কামালদের বারান্দার ক্ষেত্রফল
(10× 5) = 50 বর্গমিটার
প্রতি বর্গমিটারে টাকা হিসাবে কামালদের বারান্দার মেঝে মেরামত খরচ হবে
(50× 30) = 1500টাকা
(iii) পড়ার ঘরের দৈর্ঘ্য= 6মিটার এবং প্রস্থ= 5 মিটার
পড়ার ঘরের ক্ষেত্রফল= 6×5=30 বর্গমিটার
=30 বর্গমিটার।
=30×10000 বর্গসেমি
একটি টালির ক্ষেত্রফল=(25×25)সেমি।
30×10000
:.টালি লাগবে ----------- = 480 টি।
25×25
(i) ABCD-এর ক্ষেত্রফল (12 × 8) বর্গমিটার
=96 বর্গমিটার
আবার EBGF-এর ক্ষেত্রফল
{(12 - 3) x (8 - 3)) বর্গমিটার
= (9 × 5) বর্গমিটার = 45 বর্গমিটার
রঙিন অংশের ক্ষেত্র (96-45) বর্গমি,
=51 বর্গমিটার
(ii) ABCD-এর ত্রফল (26x14) বর্গমি.
=364 বর্গমি,
রঙিন অংশ বাদে মাঠটির ক্ষেত্রফল
= {(26-3) × (14-3)} বর্গমি.
=(23×11) বর্গমি. = 253 বর্গমি,
রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল (364–253) বর্গমিটার
=111 বর্গমিটার
(ii) EH = PG 16.
EF = GH
EFGH-এর ক্ষেত্রফল (16×9) বর্গমি.
=14.4 বর্গমি,
AB (EF+4+4) মি.= (9+8) মি. = 17 মি.
BC (FG+ 4 + 4) মি.= (16+8) মি.24 মি.
ABCD-এর ক্ষেত্রফল - ( 17 x 24) বর্গমিটার
= 408 বর্গমিটার
রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল (408–144) বর্গমিটার
= 264 বর্গমিটার
(iv) ABCD-এর ক্ষেত্রফল = (2820) বর্গমিটার
= 560 বর্গমিটার
এখন EFGH ( 20 – (3 + 3)} মি. = 14 মিটার
এবং EHFG {28 (3 + 3)} মি. = 22 মিটার
EFGH অংশের ক্ষেত্রফল = (14×22) বর্গমিটার
= 308 বর্গমিটার
রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল = (560 – 308) বর্গমিটার = 252 বর্গমিটার
(v) চিত্রে আমরা দেখতে পাচ্ছি মাঠটির দৈর্ঘ্য
= 120 সেমি.
রঙিন অংশ বাদে মাঠটির দৈর্ঘ্য
= 120 – (3 + 3) = 114 সেমি
মাঠটির প্রস্থ = 90 সেমি
রঙিন অংশ বাদে মাঠটির প্রশ্ন
=(90–3) সেমি = 87 সেমি
:: মাঠটির ক্ষেত্রফল - (120×90) বর্গসেমি
= 10800 বর্গসেমি
রঙিন অংশ বাদে মাঠটির ক্ষেত্রফল
= (114 × 87) বর্গসেমি = 9918 বর্গসেমি
. রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল = (10800-9918) বর্গসেমি = 882 বর্গসেমি.
3. বিরাটি মহাজাতি সঙ্গের আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4:3 । মাঠটির চারিদিকে একবার হেঁটে এলে 136 মিটার পথ অতিক্রম করা যায়। মাঠটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:-
আয়তকার মাঠটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4:3
মনেকরি মাঠটির দৈর্ঘ্য 4x মিটার এবং প্রস্থ 3x মিটার
মাঠটির পরিমীনা 2 (4x + 3x) মিটার=14x মিটার
শর্তানুয়ী,
14x=336
বা,x =336/14=24
মাঠটির দৈর্ঘ্য =(4×24) মিটার=96মিটার
মাঠটির দৈর্ঘ্য =(3×24) মিটার=72মিটার
মিটার ক্ষেত্রফল =(96×72)বর্গমিটার
4. প্রতি বর্গমিটারে 3.50 টাকা হিসাবে সমরদের একটি বর্গাকার জমি চাষ করতে খরচ হয় 1400 টাকা। প্রতি মিটারে 8.50 টাকা হিসাবে সমবদের জমিটির চারধারে একই উচ্চতায় তার বেড়া দিতে কত খরচ হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:-
প্রতি বর্গমিটার 3.50 হিসাবে সমরদের জমিটি চাষ করতে হয় 1400 টাকা।
জমিটির ক্ষেত্রফল= 1400÷3.50=400
জমিটি বর্গাকার
জমিটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য= √400= 20মিটার
জমিটিরপরিসীমা= (4×20)মিটার=80মিটার
প্রতি বর্গমিটার 8.50 টাকা হিসাবে জমিটি দিতে
খরচ হবে (8.50×80)টাকা=680টাকা।
5. সুহাসদের আয়তকার জমির ক্ষেত্রফল 500 বর্গমিটার। জমিটির দের্ঘ্য 3 মিটার কমালে এবং প্রস্থ 2 মিটার বাড়ালে জমিটি বর্গাকার হয়। সুতরাং জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে দেখো।
সমাধান:- মনেকরি আয়তাকার জমিটির দৈর্ঘ্য x মিটার
প্রস্থ yমিটার
শর্তে, xy = 500,...…..(i)
আবার দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমালে অর্থাৎ (x-3) মিটার হলে এবং প্রস্থ 2 মিটার বাড়লে অর্থাৎ( y+2)হলে, জমিটি বর্গাকার হবে।
শর্তে, x-3=y+2
বা,x = y+5
অy + 2) নি হলে, অনিটি
-3 y +2
(i) সমীকরণে x =y + 3 বসিয়ে পাই,
y(y+5)=500
বা, y²-25y-20y-500-0
বা,y(y+25)-20(y +25)-0
বা , (y +25)(y-20)-0
:.y+25-0 y-20=0
y =-25. y=20
বা,x = y+5
বা,x = 20+5 =25
জমির দৈর্ঘ্য=25মিটার ও প্রস্থ =20 মিটার ।
6. আমাদের গ্ৰামেএকটি বর্গাকার জমির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 300 মিটার। এই বর্গাকার জমির চারধারে একই উচ্চতায় 1 ডেসিমি চওড়া দেওয়াল দিয়ে ঘরব।। হিসাব করে দেখ্যে প্রতি 100 বর্গমিটার জনিতে 5000 টাকা হিসাবে দেওয়ালের জন্য কত খরচ পড়বে?
সমাধান;-
বর্গাকার জমিটির প্রতি টি বাহুর দৈর্ঘ্য 300 মিটার।
বর্গাকার জমিটির ক্ষেত্রফল = (300)² বর্গমিটার
= 90000 বর্গমিটার
বর্গাকার জমিটির চারধারে 3 ডেসিমিটার চওড়া দেওয়াল দিয়ে ঘিরলে, দেওয়াল সমতে জমিটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য=300.6 মিটার
.. দেওয়াল সমেত জমিটির ক্ষেত্রফল = (300.6)² =বর্গমিটার 90360.36 বর্গমিটার
. দেওয়ালটির ক্ষেত্রফল = 360.36 বর্গমিটার
100 বর্গমিটারে খরচ হয় 5000 টাকা
1 বর্গমিটারে খরচ হয় =5000/100 =50 টাকা
360.36বর্গমিটারে খরচ হয় = (360.36×50) টাকা =18018 টাকা
"
সুতরাং প্রতি 100 বর্গমিটার জমিতে 5000 টাকা হিসাবে দেওয়ালের জন্য খরচ পড়বে 18018 ঢাকা।
7. রেহানাদের আয়তকার বাগানের দৈর্ঘ্য 14 মিটার এবং গ্রন্থ 12 মিটার। বাগানটির ভিতরে চারদিকে সমাস চত্তড়া একটি রাস্তা তৈরি করতে প্রতি বর্গমিটারে 20 টাকা হিসাবে মোট 1380 টাকা খরচ হলে, রাস্তাটি কত চওড়া হিসাব করে লেখো।
আয়তকার বাগানটির দৈর্ঘ্য = 14 মিটার এবং প্রস্থ 12 মিটার
.. আয়তকার বাগানটির ক্ষেত্রফল = (14x12)= বর্গমিটার = 168 বর্গমিটার
রাস্তাটি তৈরি করতে প্রতি বর্গমিটারে 20 টাকা হিসাবে মোট 1380 টাকা খরচ হয়।
.:. রাস্তাটির ক্ষেত্রফল =1380 ÷20 বর্গমিটার
= 69 বর্গমিটার
:: রাস্তা বাদে কাগজটির ক্ষেত্রফল = 99 বর্গমিটার
মনে করি রাস্তাটি x মিটার চওড়া
. রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = বাগানের ক্ষেত্রফল রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল
বা, 69-168-{(14-2x)(12-2x))
বা, 69-168-(168-28x-24x + 4x²)
বা,69 168-168 +52x - 4x²
বা, 4xx²-52x + 69 - 0
বা, 4x - 46x- 6x + 69 = 0
বা, 2x( 2x–23) –3 (2x23) = 0
বা, ( 2x-23) ( 2x - 3 ) = 0
2x-3-0. 2x - 23 =≠ 0
বা, x = 1.5
সুতরাং রাস্তাটি 1.5 মিটার চওড়া।
8. 1200 বর্গসেমি ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য 40 সেমি হলে তার কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লেখো।
সমাধান :আয়তক্ষেত্রাকার জমির
দৈর্ঘ্য = 40 সেমি এবং ক্ষেত্রফল = 1200 বর্গসেনি
আমরা জানি, দৈর্ঘ্য × প্রস্থ =আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
40 ×প্রস্থ = 1200
প্রস্থ = 1200÷40= 30 সেমি
আয়তক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য -
__________
√দৈর্ঘ্য²+প্রস্থ²
_________
√(40)² + (30)²
________
√1600-900
____
= √2500
= 50
উহার কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
= (50)² বর্গসেমি = 2500 বর্গসেমি।
9. একটি হলঘরের দৈর্ঘ্য 4 মিটার, প্রস্থ 6 মিটার এবং উচ্চতা 4 মিটার। ঘরটিতে তিনটি দরজা আছে, যাদের প্রত্যেকটি 1512 × 1 মি. এবং চারটি জানালা আছে যাদের প্রত্যেকটি 1.2 মি. x 1 মি। ঘরটির চার দেওয়াল প্রতি বর্গমিটারে 70 টাকা হিসাবে রঙিন কাগজ দিয়ে ঢাকতে কত খরচ হবে?
সমাধান:; হল ঘরটির দৈর্ঘ্য 4 মি. প্রস্ব = 6 মি. এবং উচ্চতা – 4 মি.
ঘরটির জানালা দরজা সমেত চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা
= 2 × (6 + 4 ) × 4 বর্গমিটার= 80 বর্গমিটার
আবার 3 টি দরজার ক্ষেত্রফল
= (3× 1.5×1) বর্গমিটার = 4.5 বর্গমিটার
এবং 4 টি জানালার ক্ষেত্রফল
= (4× 1.2 × 1) বর্গমিটার = 4.8 বর্গমিটার
. জানালা, দরজা বাদে ঘরটির চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = {(80– (4.5 + 4.8)} বর্গমিটার
= 80– 93 বর্গমিটার= 70.7 বর্গমিটার
ঘরটির চার দেওয়াল রঙিন কাগজ দিয়ে ঢাকতে খরচ পড়বে=70.7 x 70) টাকা
=4949 টাকা
10. একটি ঘরের চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল 42 বর্গমিটার এবং মেঝের ক্ষেত্রফল 12 বর্গমিটার। ঘরটির দৈর্ঘ্য 4 মিটার| হলে ঘরটির উচ্চতা হিসাব করে লেখো।
সমাধান:-ঘরটির মেঝের ক্ষেত্রফল = 12 বর্গমিটার
দৈর্ঘ্য = 4 মিটার
প্রস্থ = 12÷4 = 3 মিটার
আবার ঘরটির চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল 42 বর্গমি
শর্তানুযায়ী, 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা = 42
বা, 2 × (4+3) × উচ্চতা = 42
বা, 14× উচ্চতা = 42
বা, উচ্চতা = 42÷ 14
বা, উচ্চতা = 3
সুতরাং ঘরটির উচ্চতা 3 মিটার।
.. প্রস্থ = 12 মিটার = 3 মিটার
11. সুজাতা 84 বর্গসেমি ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট আয়তাকার কাগজে একটি ছবি আঁকবে। কাগজটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অন্তর 5 সেমি। সুজাতার কাগজটির পরিসীমা কত?
সমাধান:-মনেকরি কাগজটির প্রস্থ = x সেমি
কাগজটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অন্তর 5 সেমি
কাগজটির দৈর্ঘ্য = (x + 5) সেমি
শর্তানুযায়ী, x(x+5)=84
বা,x² + 5x-84=0
বা,x² + 12x -7x-84=0
বা, x(x+12)-7(x+12)=0
বা, (x+12)(x-7)=0
x-7 =0
x=7
x + 12 = 0
x=-12
যেহেতু প্রস্থ কণাত্মক হতে পারে না।
কাজটির পরিসীমা=2 (12+7) সেমি = 38 সেনি
12. সিরাজদের বর্গাকার বাগানের বাইরের চারদিকে 2.5 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল 165 বর্গমিটার। বাগানটির ক্ষেত্রফল এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য হিসাব কর। (√2 = 1.414)
সমাধান :-মনেকরি সিরাজদের বর্গাকার বাগানের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = x মি.
যেহেতু বর্গাকার বাগানের চারপাশে 2.5 মিটার চওড়া রাস্তা আছে।
সুতরাং বায়াসহ বাগানের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য
= x + (2 × 2.5) মি. = (x +5) মিটার
. শর্তানুযায়ী, (x +5)² = x² = 165
বা, x² + 10x + 25
বা, 10x = 165-25
বা, x = 140/10
বা, x = 14
:: বাগানটির ক্ষেত্রফল = (14)² বর্গমিটার
= 196 বর্গমিটার
.. কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × 14 মিটার = 1.414 × 14 মিটার = 19.796 মিটার
সুতরাং বাগানটির ক্ষেত্রফল 196 বর্গমিটার এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য 19.796 মিটার।
13. যে বর্গাকার জমির কর্ণের দৈর্ঘ্য 20.2 মিটার তার চারধার পাঁচিল দিয়ে ঘিরতে কত মিটার দৈর্ঘ্যের পাঁচিল হবে হিসাব করে লেখো। প্রতি বর্গমিটারে 20 টাকা হিসাবে ঘাস বসাতে কত খরচ হবে হিসাব করে লেখ।
সমাধান :;বর্গাকার জমিটির কর্ণের দৈর্ঘ্য
=20√2 মিটার
মনে করি জমিটির বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
:.√2 ×a =20√a
বা, a = 20
.: জমিটির পরিসীমা = (4 × 20) মিটার = 80 মিটার
এবং জমিটির ক্ষেত্রফল = (20)² বর্গমিটার
= 400 বর্গমিটার
.. প্রতি বর্গমিটারে 20 টাকা হিসাবে ঘাস বসাতে খরচ পড়বে = (20 × 400) টাকা = 8000 টাকা
সুতরাং জমিটির চারধার পাঁচিল দিতে 80 মিটার দৈর্ঘ্যের পাঁচিল দিতে হবে এবং জমিটিতে ঘাস বসাতে 8000 টাকা পড়বে।
14. আমাদের আয়তাকার বাগানের একটি কর্ণ বরাবর একটি বেড়া দেব। আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হয় 12 মিটার ও 7 মিটার হলে বেড়ার দৈর্ঘ্য হিসাব করে লেখো। বেড়াটি আয়তাকার বাগানকে যে দুটি ত্রিভুজে ভাগ করতে তার পরিসীমা লেখ।
সমাধান -আয়তাকার বাগানটির দৈর্ঘ্য = 12 মিটার এবং প্রস্থ = 7 মিটার
:: উহার কর্ণের দৈর্ঘ্য
__________ ______ ____
=√ ((12)² + (7)²` = √144 + 49 = √193 মিটার
.:. ত্রিভুজ দুটির প্রত্যেকটির পরিসীমা
= (12+7+ √193 ) মিটার
= (19 + √193 ) মিটার
সুতরাং বেড়াটির দৈর্ঘ্য √193 মিটার
এবং বেড়াটি আয়তাকার বাগানকে যে দুটি ত্রিভুজে ভাগ করবে তার পরিসীমা (19 + √193 ) মিটার।
15.মৌসুমীদের বাড়ির আয়তাকার বড় হলঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 9 : 5 এবং পরিসীমা 140 মিটার মৌসুমীরা হলঘরের মেঝেতে 25 সেমি × 20 সেমি আকারের আয়তাকার টালি বসাতে চায়। প্রতি 100 টালির দাম 500 টাকা হলে, মৌসুমীদের হলঘরের মেঝেতে টালি বসাতে কত খরচ হবে হিসাব কর।
সমাধান-মনেকরি হলঘরটির দৈর্ঘ্য 4x মিটার এবং প্রস্থ 5x মিটার
হলঘরটির পরিসীমা - 2 × (9x + 5x) মিটার
= 28x মিটার
শর্তানুযায়ী, 28x =140
বা, x = 5
.: হলঘরের দৈর্ঘ্য - (9 × 5) মিটার = 45 মিটার
= 4500 সেমি,
হলঘরের প্রস্থ = (5 ×5) মিটার = 25 মিটার
= 2500 সেমি.
হলঘরটির ক্ষেত্রফল = (4500× 2500) বর্গসেমি
=11250000 বর্গসেমি
1টি টালির ক্ষেত্রফল=(25×20) বর্গসেমি
500 বর্গসেমি
হলঘরটির টালি লাগবে,
11,250,000÷500=22500টি
100 টি টালির দাম 500 টাকা হলে
1 টি টালির দাম 500 ÷100টাকা=5টাকা
22500টি টালির দাম (22500×5)টাকা
=1,12,500 টাকা
ঘরের মেঝেতে টানি বসাতে 1,12,500 টাকা খরচ পড়বে।
16 . 18 বর্গমিটার দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি বড়ো হলঘরে কর্পেট দিয়ে মুড়তে 2160 টাকা খরচ হয়।যদি হলঘরের প্রস্থ 4 মিটার কম হতো তাহলে 1620 টাকা খরচ হতো।হলঘরের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।
সমাধান: হলঘরের দৈর্ঘ্য= 18 মিটার
ধরি,হলঘরের প্রস্থ = x মিটার
ক্ষেত্রফল=18x
18x কর্পেট দিয়ে মুড়তে 2160 টাকা খরচ হয়।
আবার যদি প্রস্থ4 মিটার কম হয় অথাৎ প্রস্থ (x-4)মিটার হতো তাহলে ক্ষেত্রফল হতো
18×(x-4)মিটার=(18x-72) বর্গমিটার
এখন(18x-72) বর্গমিটারে খরচ হতো =1620টাকা
খরচের পার্থক্য
18x-(18x-72) বর্গমিটারে খরচ হয়
=(2160-1620)টাকা=540 টাকা
অর্থাৎ 72 বর্গমিটারে খরচ হয় =540 টাকা
540 টাকা খরচ হয় = 72 বর্গমিটারে
72
540 টাকা খরচ হয় = --------- বর্গমিটারে
540
72 ×2160
2160 টাকা খরচ হয় = --------- বর্গমিটারে
540
=288 টাকা
সুতরাং হলঘরটির ক্ষেত্রফল 288 বর্গমিটার।
17. একটি আয়তকার জমির কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অন্তর 3 মিটার। জমিটির পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান:. মনেকরি আয়তাকার জমির প্রস্থ x মিটার
... আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য = (x + 3) মিটার
.. শর্তানুযায়ী, x2² + (x + 3)² =15
বা,, x² + (x+32-225
বা,, x² + x² + 6x +9-226
বা,, 2x² + 6x-216-0
বা, x² + 3x108 - 0
বা, x² + 12x - 9x-108 - 0
বা, x (x + 12) 9 (x+12) 0
বা, (x +12) (x – 9 ) - 0
x + 12 = 0
বা,x= -12 হবে না (প্রস্থ অনাত্মক হতে পারে না।)
x – 9 - 0
বা, x = 9
: জমিটির প্রস্থ 9 মিটার এবং দৈর্ঘ্য 12 মিটার।
.: জমিরি পরিসীমা 2 x (9 + 12) মিটার = 42 মিটার
... জমিটির ক্ষেত্রফল = (9 × (2) বর্গমিটার
=108 বর্গমিটার
সতরাং জমিটির পরিসীমা 42 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 108 বর্গমিটার।
18. 385 মিটার × 60 মিটার পরিমাপের একটি আয়তাকার চাতাল পাকা করতে সর্ববৃহৎ কত মাপের বর্গাকার চাইলস ব্যবহার করা যাবে এবং সেক্ষেত্রে টাইলনের সংখ্যা কত হবে?
Ans. 385 মিটার 60 মিটার পরিমাপের চাতালটি পাকা করতে সর্ববৃহৎ যে মাপের বর্গাকার টাইলস ব্যবহার করা যাবে।
385 এবং 60
এর গ.সা.গু
60 ]385[6
360
--–----
23]60[2
50
--------
10]25[2
20
--------
5] 10[2
10
--------
সুতরাং সর্ববৃহৎ 5 মি. × 5 মি. আকারের বর্গাকার টাইলস ব্যবহার করা যাবে।
টাইলসের সংখ্যা =
385 x 60
--–--------= 924
5x5
সুতরাং চাতালটি পাকা করতে সর্ববৃহৎ 5 মিটার × 5 মিটার মাপের বর্গাকার টাইলস ব্যবহার করা যাবে এবং সেক্ষেত্রে টাইলসের সংখ্যা 924 টি হবে।
19. বহু পছৰ ভিত্তি(M.CQ)
(i) একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 12√2 সেমি। বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল
(a) 288 বর্গসেমি
(b) 144 বর্গসেমি
(c) 72 বর্গসেমি
(d) 18 বর্গসেমি
Ans. বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 12√2 সেমি
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য =সেমি
12√2
----––= 12 সেমি
√2
.. বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল (12)² বর্গসেমি
= 144 বর্গসেমি [Ans. -(b)]
(ii) যদি একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল A, বার্গএকক এবং ওই বর্গক্ষেত্রের কার্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল A, বর্গএকক হয়, তাহলে A₁ A, হবে
(a) 1:2 (b) 2:1 (c) 1:4 (d) 4:1
Ans. মনেকরি বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য a
বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল a²
শর্তানুযায়ী, a² =A₁
বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য =√2a
কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল
= (√2a)² = 2a²
:. 2a² = A,
= a² = 2a² = 1 : 2 [Ans. - (a)]
(iii) 6 মিটার লম্বা ও 4 মিটার চওড়া একটি আয়তকার জায়গা 2 ডেসিমি, বর্গ টালি দিয়ে বাঁধাতে হলে টালি লাগবে
(a) 1200 (b) 2400 (c) 600 (d) 1800
Ans আয়তাকা জায়গাটির ক্ষেত্রফল
= (6×4) বর্গমিটার = 24 বর্গমিটার
= 2400 বর্গ ডেসিমিটার
2400
টালির সংখ্যা= ---------= 600 টি [Ans. (c))
2 × 2
(iv) সমান পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র এবং একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে S এবং R হলে,
(1) S = R (b) S> R (c) S <R
Ans. মনেকরি বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য = x
এবং আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = a বা, প্রস্থ = b
শর্তানুযায়ী, 4 x = 2 × (a + b)
আবার x² = S....(i)
বা, ab = R......(ii)
এখন 4x = 2 × (a + b)
বা, 2x = a + b
বা, 4x = (a+b)²
বা, 4x² = a² + b² + 2ab
বা, 4S = a²+ b² + 2R [(i) ও (ii) নং হতে]
বা, 4S = a² + b² - 2ab + 2ab + 2R
বা, 4S = (ab)² + 2R + 2R
বা, 4S = (a - b)² + 2R + 2R
: 4S - 4R = (a - b)²
4S - 4R > 0
(a - b)² > 0
4S > 4R
বা, S > R [Ans. (b)]
(v) একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 10 সেমি এবং ক্ষেত্রফল 62.5 বর্গসেমি হলে আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সমষ্টি।
(a) 12 সেমি (b) 15 সেমি (c) 20 সেমি (d) 25 সেমি
Ans. মনেকরি আয়তক্ষেত্রের
দৈর্ঘ্য x সেমি এবং প্রস্থ =y সেমি
আবার xy = 62.5
_____
:. √x²+ y² = 10
বা, x²+ y² = 100
বা, x² + y² + 2xy = 100 + (62.5) × 2
বা, (x + y)² = 100+ 125
বা, (x + y)² = 225
বা, x + y - 15 [Ans. (b)]
20. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন
(1) একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি করলে বর্ণক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
Ans. মনেকরি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x একক
বৃদ্বির আগে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল=x² বর্গ একক
:: বাহুর দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি পেলে বাহুর দৈর্ঘ্য হবে।
10 10x
-------× x= ----------
100 100
10x 100x + 10x
x +-------- = --------------------
100 1000
110x
বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = ----------- - x²
100x
121x²-100x² 21x²
=-------------------- = -------------------
100 100
21x²
x² এর মধ্যে বৃদ্ধি পায় --------------
100
21x²
1 এর মধ্যে বৃদ্ধি পায় --------------
100× x²
21x²×100
100 এর মধ্যে বৃদ্ধি পায় ---------------- =21
100× x²
. বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 21% বৃদ্ধি পাবে।
(II) একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 10% এবং 10% হ্রাস করা হলে শতকরা কত বৃদ্ধি বা হ্রাস পাৰে?
Ans. ক্ষেত্রফল শতকরা হ্রাস পাবে
10 × 10
= ----–-------– % =10%
100
সুতরাং ক্ষেত্রফল 10% হ্রাস পাবে।
(iii) একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 5 সেমি। কর্ণয়ের ছেদবিন্দু থেকে আয়তক্ষেত্রের একটি প্রসেম্বর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য 2 সেমি। আয়তক্ষেত্রের প্রস্থের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:-মনেকরি আয়তক্ষেত্রটির
প্রস্থের দৈর্ঘ্য x সেমি
আবার কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু থেকে প্রস্থের উপর
লম্ব দূরত্ব =2 সেমি
উহার দৈর্ঘ্য = 2 x OD = 2 x 2 - 4 সেমি
________
.:. শর্তানুযায়ী, √((4)² + x² = 5
,বা, 16+x²-25
বা, x ² = 9
বা, x = √9
বা, x = 3.:. আয়তক্ষেত্রের প্রস্থের দৈর্ঘ্য 3 সেমি।
(iv) একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু থেকে তার যেকোনো বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 2/2 সেমি হলে বর্গক্ষেত্রটির প্রতিটি কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু থেকে তার যেকোনো বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 2√2 সেমি
বর্গক্ষেত্রটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য
= (2 x 2 √2 ) সেমি= 4√2 সেমি।
• বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য=√2 × একটি বাহুর দৈর্ঘ্য
= (√2 × 4√2) সেমি
= ৪ সেমি
বর্গক্ষেত্রটির প্রতিটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ৪ সেমি।
(v) একটি ক্ষেত্রের পরিসীমা 34 সেমি এবং ক্ষেত্রফল 60 বর্গসেমি। আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি কর্ণের দৈর্ঘ্য করো?
Ans. মনেকরি আয়তক্ষেত্রটির
দৈর্ঘ্য x সেমি ও প্রস্থ y সেমি।
উহার ক্ষেত্রফল = xy = 60 .......(i)
এবং উহার পরিসীমা 2 (x+y) = 34
. বা, x+y = 34/2
বা,x+y = 17
বা,(x+y)² =(17)²
বা,x²+y² +2xy = 289
বা,x²+y² = 289-2 × xy
বা,x²+y² = 289-2 × 60
বা,x²+y² = 289-120
বা,x²+y² = 169
আয়তক্ষেত্রটির বর্ণের দৈর্ঘ্য
_____
= √x²+y²
=√169
=13
আয়তক্ষেত্রটির প্রতিটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 সেমি।
সমাপ্ত