নবম শ্রেণীর গণিত কষেদেখি ১৫.২ সমাধান ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল
 |
নবম শ্রেণীর গণিত
কষেদেখি ১৫.২
ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল
ছবিগুলির ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখ
প্রথম ছবির সমাধান:;
ছবি থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি ত্রিভুজটি সমবাহু।
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
√3
= ----(বাহু)²
4
√3
= ----(10)²
4
√3
= ----×100
4
= 25√/3
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল= 25√/3বর্গসেমি
দ্বিতীয় ছবির সমাধান:;
ছবি থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।
ABC ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
___________
/ 8²
= ½×8×√(10)²- -----
4
_________
/ 64
=4×√ 100 - -----
4
_____
=4 × √100-16 =4× √48 =8√21
ABC ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল=8√21বর্গসেমি
তৃতীয় ছবির সমাধান:;
ABCD টপিডিয়নের ক্ষেত্রফল
=½ × (4+5) × 3 বর্গসেমি
=½ × 9 × 3 বর্গসেমি
= 13.5 বর্গসেমি
চতুর্থ ছবির সমাধান:;
ABCD টপিডিয়নের ক্ষেত্রফল
=½ × (49+15) × 9 বর্গসেমি
=½ × 55 × 9 বর্গসেমি
=247.5 বর্গসেমি
পঞ্চম ছবির সমাধান:;
ABCD আয়তক্ষেত্রের কন AC = 42 সেমি
এবং DC = 38 সেমি
এখন যেহেতু ADC একটি সমকোণী ত্রিভূজ
AD² = AC²- CD²
= (42)²- (38)²
=(42+38) (42-38)
= 80 × 4 = 320
AD² = 320
AD = √320
AD - 8√5
ABCD আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (38×8√5) বর্গসেমি = 304√5 বর্গসেমি
1. কোনে সমবাহু ত্রিভুজের পরিদীয়া 45 সেমি হলে তার ক্ষেত্রফল হিসাব করে লেখ।
সমাধান:;সমবাহু ত্রিভুজের পরিদীয়া 45 সেমি
সমবাহু ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য
= 48 ÷3সেমি = 16 সেমি
. সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
√3
=-----------× (16)² বর্গসেমি।
4
√3
= ------- × 16× 16:বর্গসেমি।
4
বর্গসেমি- 64√3 বর্গসেমি
3. ABC সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 5/5 সেমি হলে ত্রিভুজটির পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল হিসাব করে লেখ।
সমাধান:;সমবাহু ত্রিভুজটির উচ্চতা 5√3 সেমি
শর্তানুযায়ী,
√3
-------বাহু = 5√3
2
বা, বাহু - 10
ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি
ত্রিভুজটির পরিসীমা (3 x 10) সেমি - 30 সেমি
এবং উহার ক্ষেত্রফল
√3
= -----×(10)² বর্গসেমি - 25√3 বর্গসেমি
2
সুতরাং ত্রিভুজটির পরিসীমা 30 সেমি
এবং ক্ষেত্রফল 25/3 বর্গসেমি
4. ∆ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 4 সেমি হলে, ∆ABC এর ক্ষেত্রফল হিসাব করে লেখ।
সমাধান;-আমরা জানি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
________________________________
=½ ×√ভূমির দৈর্ঘ্য (সমান বাহুর একটির দৈর্ঘ্য)² – ____________________
(ভূমির দৈর্ঘ্যের অর্ধৈক)²
_______
=½ ×4√(10)²-(2)²
= 2√96
=8√6
:.∆ ABC এরক্ষেত্রফল =8√6 বর্গসেমি
5. যদি কোন সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 12 সেমি এবং সমান বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি হয় তবে ঐ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লেখ।
সমাধান:;: আমরা জানি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
________________________________
=½× ভূমির দৈর্ঘ্য (সমান বাহুর একটির দৈর্ঘ্য)² –
____________________
(ভূমির দৈর্ঘ্যের অর্ধৈক)²
___________
=½×12× √(10)² = (6)²
_______
= 6 ×/ 100 - 36
= 6 × 8 = 48
সমদ্বিবাবু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 48 বর্গসেমি
৫. কোন সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের গতিসীমা 544 সেমি এবং সমান বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ভূমির দৈর্ঘ্যের এ
5/6অংশ;।ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লেখ।
সমাধান;- মনে করি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির
ভূমির দৈর্ঘ্য a সেমি
শর্তানুযায়ী,
5a
সমান বাবুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য-------- সেমি
6
আবার সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির পরিসীমা 544 সেমি
শর্তানুযায়ী,
5a
a+ (2 +-----). 544
6
5a
বা, a + ----------- = 544
3
3a + 5a
বা, ---------------- =544
3
বা, 8a = 544×3
544×3
বা, a = -------------
6
a = 68 x 3
বা, a = 204
. ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য 204 সেমি
এবং সমান বাহু দুটির প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য
5× 204
---------সেমি = 170 সেনি।
6
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল =
________________
/ 204
½× 204 × √(170)²- (--------)² বর্গসেনি
2
____________
= 102 × √(170)²-(102)² বর্গসেনি
___________________
=102× √(170 +102)((170 -102)বর্গসেনি
____________
=102 × √ 272×68 বর্গসেনি
____________________
=102 × √2×2×2×2×17×2×2×17 বর্গসেনি
____________
=102 × √2×2×2×17 বর্গসেনি
13872 বর্গসেনি
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল= 13872 বর্গসেনি
7. একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অভিভূতের দৈর্ঘ্য 125 বেনি হলে নিমাটি সোনা হিসাব করে লেখ।
মনে করি ABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুত্ব যার, AB = BC এবং অতি ACINE বেশি
শর্তানুযায়ী, 2AB² = (12√2)²
বা, 2AB² = 144×2
বা, AB² = 14৪
বা, AB = √14৪ AB ≠- 12
বা, AB = 12
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ½×12 × 12 =বর্গাসেমি
= 72 বর্গাসেমি
৪. পৃথা একটি সামান্তরিক এঁকেছে যান কর্মদ্বরের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫ কেনি ও ৪ সেমি এবং কলারের মধ্যবর্তী কোনগুলিরপ্রত্যেকটি 90% সামান্তরিকের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য লেখ ও সামান্তরিকটির বৈশিষ্ট লেখ।
সমাধান:-যেহেতু সামান্তনিকটির কার্যয়ের মধ্যবর্তী কোনগুলির প্রত্যেকটি 90° সুতরাং সামান্তরিকটি হয় আয়তক্ষেত্র নয়তো রম্বস
স্পষ্টতই আমরা দেখতে পাচ্ছি, কর্ণ AC=6
সেমি এবং BD = 3 সেমি।
রম্বসের ক্র্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমরিনভিন্ন করে।
AO =OC=3 সেমি
এবংBO=OD=4 সেমি।
এখন OCD ত্রিভুজ থেকে পাই
CD² = OC²+ OD²
CD² = (3)²+ (4)²
CD² = 9+ 16
CD² = 25
CD = 5
সামান্তরিকটির প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য= 5সেমি
সুতরাং সামান্তরিকটি একটি রম্বস।
9. আমাদের পাড়ার ত্রিভুজাকৃতি একটি পার্কের বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2: 3: 4 পার্কটির পরিসীমা 216 মিটার।
(i) হিসাব করে পার্কটির ক্ষেত্রফল লিখি।
(II) পার্কটির বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে ওই বাহুতে সোজাসুজি যেতে কত পথ হাঁটতে হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:-
(i) ত্রিভুজাকৃতি পার্কটির
বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3:4
মনেকরি, সাধারণ অনুপাত= x
পার্কটির বাহুগুলির দৈর্ঘ্য
=2xমি. 3x মি.; এবং 4xমিটার
শর্তানুযায়ী, 2x+3x+4x = 216
বা. 9x = 216
216
বা. x= ------- =24
9
বা, x = 24
বাহুগুলির দৈর্ঘ্য =2×24মি. 3×24 মি.; এবং 4×24মিটার
পার্কটির বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 48 মি. 72.মি. 96 মিটার
পার্কটির পরিসীমা =(48 +72+96)=108মিটার
পার্কটির অর্ধপরিসীমা S =108 মিটার
ত্রিভূজাকৃতি পার্কটির ক্ষেত্রফল
________________
= √s(s-a)(s-b)(s-c)
_____________________________
=√108 (108 - 48)(108-72)(108 - 96) বর্গমিটার
________________
=√108 x 60x36×12
= 432√15 বর্গমিটার
(11) পার্কটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য = 96 মিটার
আবার বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে ঐ বাহুতে সোজাসুজি যেতে হলে, কৌণিক বিন্দু থেকে ঐ বাহুতে লম্ব হতে হবে।
অর্থাৎ, শর্তানুযায়ী,
½ × ভূমি ×উচ্চতা
½ × 96 ×x =432√15
:: 4×432√15
বা, x =---------------= 9 √15
96
সুতরাং পার্কটির বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে ঐ বাহুতে সোজাসুজি যেতে 9√15 মিটার পথ হাঁটতে হবে।
10. পহলমপুর গ্রামের ত্রিভুজাকৃতি মাঠের তিনদিকের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 26 মিটার 28 মিটার ও 30 মিটার।
(i) প্রতি বর্গমিটারে টাকা হিসাবে ত্রিভুজাকৃতি মাঠে ঘাস লাগাতে মোট কত টাকা খৰচ হবে, হিসাব করে লেখ।
(ii) ঐ মাঠে প্রবেশের গেট তৈরির জন্য 5 মিটার জায়গা ছেড়ে বাকি চারধার বেড়া দিয়ে ঘিরতে প্রতি
মিটার 18 ঢাকা হিসাবে মোট কত টকা খরচ হবে হিসাব করে লেখ।
সমাধান :
(i) মাঠটির তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য 26 মি. 28 মি. ও.30 মি.
মাঠটির পরিসীমা = (26+28+30 84)মি.
=84 মিটার
অর্ধপরিসীমা =84 ÷ 2=42 মিটার।
মাঠটিরক্ষেত্রফল
= ________________
= √s(s-a)(s-b)(s-c)
_________________________
=√42 (42 - 26)(42-28)(42 - 30) বর্গমিটার
________________
=√52 x 16 x14×12
_________________________
=√7×3×2×4×4×2×7×4×3 বর্গমিটার
=7×2×4×2×3 বর্গমিটার
= 336 বর্গমিটার
প্রতি বর্গমিটারে 5 টাকা হিসাবে ত্রিভুজাকৃতি মাঠে ঘাস লাগাতে মোট খরচ হবে (336 ×5) টাকা
=1680 টাকা
11. শাকিল একটি সমবাহু ত্রিভুজ PQR এঁকেছে। আমি ঐ সমবাহু ত্রিভুজের অন্ত কোনো বিন্দু থেকে ত্রিভুজের বাহুগুলির উপর তিনটি লম্ব অঙ্কন করছি যাদের দৈর্ঘ্য 10 সেনি 12 সেনি সেনি। হিসাব করে ∆PQR-এর ক্ষেত্রফল লিখি।
ধরা যায়∆ PQR একটি সমবাহু ত্রিভুজ যার
PQ= QR =RP, বাহু PQ= QR =RP =a সেমি।
ত্রিভুজটির অন্তঃস্থ বিন্দু O থেকে তিনটি বাহুর উপর লম্ব যথাক্রমে OA,OB এবং OC
OA = 10 সেমি, OB =12 ,OC =8 সেমি
∆PQR =∆OPQ+∆OQR+∆ORP
√3
---- a² =½ a×10 + ½×a×12 + ½×a×8
4
√3
=-----a² = 5a+6a+4a
4
√3
বা,------a² = 15a
4
15 × 4
বা, a=---------- =20√3
4
∆POR এরক্ষেত্রফৃল
√3
= -------×20√3 × 20√3 বর্গসেমি
4
=300√3 বর্গসেনি
12. একটি সমর্থিবাহ্ ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি এবং ওই বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45°হলে ত্রিভূজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লেখ।
যা ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার
AB = BC = 20 সেনি। এবং /_BAC = 45°
এখন B কিন্তু থেকে AC ধাতুর উপর লম্ব অঙ্কন করা হল।
/_BDA =90°
BD
sin /_ BAD =----------
AD
BD
sin /_ 45° =-----------
20
1
বা, BD =20 × --------=10√2
√3
∆AbBC এর ক্ষেত্রফল
= ½×BD×AC
=½×10√2×20 বর্গসেমি
=100√2 বর্গসেনি
13. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সকল বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি এবং ওই বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোন 30°হলে। কিছুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান::
ধরাযাক ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।যার
AB= BC= 20 সেনি এবং কোণ BAC =30।ষ
এখন B বিন্দু হতে AC বাহুর উপর BD লম্ব অঙ্কন করা হলো।
/_ BDA =90°
∆ABD থেকে পাই
BD
sin /_ BAD = --------
AB
BD
sin /_ 30° = -----
20
বা, BD =½×20
বা, BD = 10
.∆ ABC এর ক্ষেত্রফল = = ½ BD x AC
= ½ x × 10 × 20 বর্গসেমি = 100 বর্গসেনি
: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 100 বর্গসেনি
14. একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা (√2+1) সেমি হলে ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল হিসাব করে লেখ।
সমাধান::মনেকরি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির সমান বাহু দুটির প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a সেমি।
আবার যেহেতু সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির সমকোণী
সুতরাং; a² + a² = (অতিভুজ)²
2a² = (অতিভুজ)²
:: অতিভূজ = √2a
.:. শর্তানুযায়ী, a + a + √2a = √2 + 1
a(1+1+√√2)=√√√2 + 1
√2+1
বা, a =-----------
2+√2
(√2+1)(2-√2)
বা, ----------------------
(2+√2)(2-√2)
2√2+2-2-√2
বা, ---------------
4-2
2√2 - √2
বা, --------------
2
√2(2 - 1)
বা,--------------
2
√2
বা,-----------
2
√2 2
.:. অতিভুজের দৈর্ঘ্য = √2 × ---- =------- = 1 সেমি
2 2
: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল =
√2 √2 1
= ½ × ---- =-------- = -----বর্গসেমি
2 2 4
= 0.25 বর্গসেমি
সুতরাং ত্রিভুজটির অতিভূজের দৈর্ঘ্য 1 সেমি এবং ক্ষেত্রফল 0.25 বর্গসেমি
15. মারিয়া ঘন্টায় 18 কিমি বেগে সাইকেল চারিয়ে 10 মিনিট একটি সমবাহু ত্রিভুজাকার মাঠের পরিসীমা বরাবর ঘুরে এল। ত্রিভুজটির একটি কৌণিক বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত সোজা যেতে মারিয়ার কত সময় লাগবে হিসাব করে লেখ। (√3 = 1.732)
সমাধান:
মারিয়া
60 মিনিটে যায় 18 কিমি = 18000 মিটার
18000
1 মিনিটে যায় =------------মিটার
60
18000×20
20 মিনিটে যায় =---------------------মিটার
60
= 3000 মিটার
.. ত্রিভুজাকার মাঠটির পরিসীমা 3000 মিটার
ত্রিভুজটি সমবাহু
: মাঠটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 1000 মিটার
মনেকরি ত্রিভুজটির একটি কৌণিক বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্য বিন্দুর দূরত্ব n মিটার
√3
শর্তানুযায়ী, n = -----×1000 =500√3
2
মারিয়া
3000 মিটার যায় 10 মিনিটে
10
1 মিটার যায় ------------- মিনিটে
3000
10×500√3
500√3 মিটার যায় ------------------- মিনিটে
3000
5√3
= -------
3
= 2.89 মিনিটে
সুতরাং ত্রিভুজটির একটি কৌণিক বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত সোজা যেতে মারিয়ার 2.89 মিনিট সময় লাগবে।
16. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 1 মিটার বৃদ্ধি করলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল √3 বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। বাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লেখ।
সমাধান:- মনেকরি সমবাহু ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
√3
ক্ষেত্রফল = ------- x a² বর্গমিটার
4
আবার ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য (a + 1) মিটার হলে,
√3
ক্ষেত্রফল = ---- x (a+1)² বর্গমিটার
4
√3 √3
শর্তানুযায়ী, --------(a+1)² = - --------×a² = √3
4 4
√3
বা,----- {(a+1)²-a²] = √3
4
বা, a² + 2a + 1-a²=4
বা, 2a =3
বা, a = 1.5
:: সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 1.5 মিটার।
17. একটি সমবাহু ত্রিভূজ এবং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত √3 : 2; বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 60 সেমি হলে, সমবাহু ত্রিভুজটির পরিসীমা হিসাব করে লেখ।
সমাধান;-মনেকরি বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি
√2 × x = 60
60 60√2
বা,x = --–---- = -------------
√2 2
= 30√2
. বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (30√2)² বর্গসেমি
= 900 × 2 বর্গসেমি = 1800 বর্গসেমি
আবার মনেকরি সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
= √3y বর্গসেমি এবং বর্গক্ষেত্রের
ক্ষেত্রফল = 2y বর্গসেমি
শর্তানুযায়ী, 2y =1800
বা, y = 900
সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল - 900√2 বর্গসেমি। মনেকরি সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি
√3
শর্তানুযায়ী, ------- × a² = 900√3
4
বা, a² = 900 × 4
বা, a ± 60 [a = – 60] [: বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না]
.: সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 60 সেনি
: সমবাহু ত্রিভুজটির পরিসীমা (3×60) সেমি
= 180 সেমি
18. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভূজের দৈর্ঘ্য এবং পরিসীমা যথাক্রনে 13 সেমি এবং 30 সেনি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রের হিসাব করে লেখ।
সমাধান:-
মনেকরি ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভূজ AC = 13 সেনি এবং AB = সেনি, BC= 5 সেমি
.: শর্তানুযায়ী, a + b +13 = 30......(i)
বা,a + b = 30-13
বা, a+b=17
আমরা জানি সমকোণী ত্রিভুজের,
AB² + BC² = AC²
বা, a² + b² = (13)²
বা, (a + b)²-2ab = (13)²
বা, (17)²-2ab = (13)² [ (i) নং হতে পাই]
বা, 2ab = (17)²-(13)²
বা, 2ab = 30 × 4
বা, ab = 60.....(ii)
ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½× AB × bc বর্গসেনি
= ½ × ab বর্গসেনি
= ⅓3 x 60 বর্গসেনি = 30 বর্গসেনি।
সুতরাং ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 30 বর্গসেনি।
19. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 বেনি এবং 5 সেনি। সমকৌনিক বিন্দু থেকে অভিভূজের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লেখ।
সমাধান :-ABC সমকোণী ত্রিভুজের
AC²= AB ²+ BC² =(5)² +(12)²
= 25 + 144 = 169
AC = 13
ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =
½ ×AB × BC বর্গসেমি
= ½× 5 × 12 বর্গসেমি
= 30 বর্গসেমি
মনেকরি সমকৌণিক বিন্দু থেকে অভিভূক্তের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য = BD
শর্তানুযায়ী, ½ × BD ×AC = 30
বা, ½ × BD ×13 =30
30 ×2
বা,BD =--------------
13
60
বা,BD =--------- =4.615
13
সমকৌণিক বিন্দু থেকে হাতিভুজের উপর বাঘের দৈর্ঘ্য 4.615 সেমি
20.3 সেমি, 4 সেমি ও5 সেমি দৈর্ঘ্যের বায়ু বিশিষ্ট একটি সমকোণী ত্রিভুজাকার ক্ষেত্র থেকে একটি সর্ববৃহৎ বর্গক্ষেত্র এমনভাবে কেটে নেওয়া হলো যার একটি শীর্ষবিন্দু ত্রিভূজটির অরিভূজের উপর অবস্থিত। বর্গাকার ক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লেখ।
Ans: ধরা যাক ABC একটি সমকোণী ত্রিভূত যারা -3 সেমি, I = 4 সেমি ও C4=5 সেমি
মনেকরি বর্গাকার ক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি।
BD = BE = EF = FD = a সেমি
:- AD-(3 - a) সেমি , EC (4-a) সেমি
∆ABC এর ক্ষেত্রফল=∆ADF এর ক্ষেত্রফল+ BEFD বর্গক্ষত্র এর ক্ষেত্রফল+∆EFC এর ক্ষেত্রফল
:.½×3×4=½×(3-a)×a+a²+½÷(4-a)×a
বা, 6 = ½a(3-a+4-a)+a²
7a
বা, 6= ----- - a²+a²
2
বা, 7a = 12
বা, a= 12/7
বা,a = 1½
ক্ষেত্রটিরবাহুর বাহুর দৈর্ঘ্য = 1½
প্রশ্ন (M.CO)
(1) একটি সমবাবু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য এ সেমি হলে ত্রিভুজটির উচ্চতার পরিমাণ
(a) 4√3 সেমি (b) 16√3 সেমি (c) 8√3 সেমি
(d) 2√3 সেমি
সমাধান:-
√3
উচ্চতা = ----× বাহুসেমি
2
√3
উচ্চতা = ----× 4 সেমি
2
=2√3 সেমি
(d) 2√3 সেমি (উঃ)
(ii) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a একক। ত্রিভুজটির পরিসীমা।
(a) ( 1 + √2 একক (b) ( 2 + √2)a একক (c) 3a একক (d) (3 + 2√2)a একক
Ans: সমকোণী সমবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a একক
শর্তানুযায়ী,a² +a² = (অতিভূজ)²
বা, 2a² =(অতিভূজ)²
বা, (অতিভূজ)²=√2a
ত্রিভুজটির পরিসীমা = (a+a+2a) একক
= 2a + √2a
=(2+√2) a
Ans. (b)
(ii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, পরিসীমা এবং উচ্চতা যথাক্রমে as এবং n হলে এর মানহলে 2n/sn এর মান
(a) 1
(b) ½
(c) ⅓
(d) ¼
ধরাযাক ,সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক
√3 √3x
উচ্চতা n=-------- ×x = ----- পরিসীমা s = 3x
2 2
√3 √3x²
ক্ষেত্রফল a=-------- ×x² = -------
4 4
√3x²
2 × -----
; 22a. 4
: ------ = ---------------------------=⅓ উত্তর (c)
sn √3x
2 × -------
4
(iv) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 6 সেমি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
(a) 18 বর্গসেমি (b) 12 বর্গসেমি (C) 15 বর্গসেমি (d) 30 বর্গসেমি
Ans: : ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
__________
= ½ × 6 x√5² - (6/2)² বর্গসেমি
_______
= 3× √25- 9
=3 × 4 = 12
Ans: (b)
(v) ABC ত্রিভুজের AC বাহুর উপর D এমন একটি বিন্দু যে AD : DC = 3:2; ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 40 বর্গসেনি হলে BDC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
(a) 16 বর্গসেমি (b) 24 বর্গসেমি (c) 30 বর্গসেমি (d) 36 বর্গসেমি
: AD : DC = 3:2
2∆ABD = 3∆BDC
. ∆ABC = ∆ABD + ∆BDC
. 2∆ABC = 2∆ABD + 2∆BDC
. 2 ∆ABC = 3∆BDC + 2∆BDC
: 2∆ABC = 5∆BDC
= 3 × 4 বর্গসেমি = 12 বর্গসেমি
:.∆BDC = ⅖ × (∆ABC)
= ⅖× 40 বর্গসেমি
= 16 বর্গসেমি,
.:. BDC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 16 বর্গসেমি
Ans: (a)
(vi) একটি ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা থেকে প্রতিটির বাহুর দৈর্ঘ্যের অন্তর যথাক্রমে 8 সেমি, 7 সেমি ও5 সেমি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
(a) 20√7 বর্গসেমি (b) 10√14 বর্গসেমি (c) 10√14 বর্গসেমি 140 বর্গসেনি
Ans: s-a= 8, s-b = 7 এবং s-c='5
3s (a + b + c) = 8+7+5
a + b + c
3× ------–---------(a+b+c) = 20
2
a + b + c
বা, ------–-------= 20
2
. ত্রিভুজটির অর্ধপরিসীমা = 20
______________
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √20 × 8 × 7 x 5 বর্গসেমি
=5 × 4√14 বর্গসেমি
= 20√14 বর্গসেমি
Ans: (c)
22. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন
(1) একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ও উচ্চতার সাংখ্যমান সমান। ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:-
মনেকরি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক
√3 √3
শর্তানুযায়ী ----–×a = ---------×a²
2 2
4
বা, a = ------= 2
2
ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 2 একক
(i) একটি ত্রিভূজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি হয়?
সমাধান:;
মনেকরি, সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য a একক
√3
. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল =--------x a² বর্গএকক
4
ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 2a একক হলে উহার
√3 √3
ক্ষেত্রফল = -------×(2a)² = ------×4a²বর্গএকক
4 4
= √3a² বর্গএকক
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = √3a(1−¼) বর্গএকক
=√ ¾ √3a² বর্গএকক
√¾×a² বর্গএককে বৃদ্ধি হয় ¾× √3a²' বর্গএকক
1 বর্গএককে বৃদ্ধি হয় 3 বর্গএকক
100 বর্গএককে বৃদ্ধি হয় 3 × 100 বর্গএকক
= 300 বর্গ একক
সুতরাং ত্রিভুজটির প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল শতকরা 300 বৃদ্ধি পায়।
(ii) একটি ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য তিনগুণ করলে ত্রিভুজটিরর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায়?
সমাধান:;
মনেকরি ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক
√3
. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল =------x a² বর্গএকক
4
ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 3a একক হলে উহার
√3 9√3
ক্ষেত্রফল = -----×(3a)² = --------a² বর্গএকক
4 4
√3
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = ------a²(9-1) বর্গএকক
4
√3
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি= 8× ------a² বর্গএকক
4
√¾×a² বর্গএককে বৃদ্ধি হয় 8×√¾a² বর্গএকক
1 বর্গএককে বৃদ্ধি হয় 8 বর্গএকক
100 বর্গএককে বৃদ্ধি হয় 8 × 100 বর্গএকক
= 800 বর্গ একক
সুতরাং ত্রিভুজটির প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্য তিনগুণ করলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল শতকরা 800 বৃদ্ধি পায়।
(iv) একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য (x-2) সেমি,x সেমি ও (x + 2) সেমি। ত্রিভুজটির অভিভূজের দৈর্ঘ্য কত?
Ans: আমরা জানি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভূজ ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহু।
ত্রিভুজটির অভিভূজের দৈর্ঘ্য (x + 2) সেমি
(v) একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতার উপর একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করা হলে ত্রিভুজ ও বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
সমাধান:-.
মনেকরি সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য a একক
√3
..সমবাহু ত্রিভুজটির উচ্চতা = ---- × a একক
2
√3
.. বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ---- × a একক
2
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল. √¾×a² √¾×a² 1
--------------------------= ------------- = ------------ =---
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল. ( √¾×a)² √¾×a² √3
ত্রিভুজ ও বর্গবক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= 1 : √3