নবম শ্রেণীর গণিত কষেদেখি ৮.১ (উৎপাদকে বিশ্লেষণ) সমাধান
নবম শ্রেণীর গণিত
কষেদেখি ৮.১
উৎপাদকে বিশ্লেষণ
1. x³ − 3x+2
মনে করি, f(x) = x³ - 3x + 2
f(1)1³-3yl + 2 = 0
অর্থাৎ x= 1 বসিয়ে f (x)-এর মান শূন্য পাওয়া গেল।
:: উৎপাদক উপপাদ্যের সাহায্যে বলা যায় যে, (x −1),
f (x)-এর একটি দ্বিপদ উৎপাদক।
.: x²-3x + 2
= x³-x² + x²-2x + 2
= x(x−1) + x(x-1) - 2 (x – 2 )
= (x – 1 ) ( x²+ 2x - x - 2)
=(x-1) {x (x + 2) - 1(x+2)}
= (x-1) (x-1) (x+2)
=(x-1)² (x+2)
.:. x−3x + 2 = (x – 1)² (x+2)
2. x³+2x+3
= x³ + x² – x²– x + 3x + 3
=x²(x+1) −x (x + 1) +3 (x + 1)
=(x + 1) (x² - x + 3)
:. x³ + 2x + 3 = (x + 1) (x² - x + 3)
(বিকল্প পদ্ধতি)
উৎপাদক উপপাদ্যের প্রয়োগ ছাড়া উৎপাদক বিশ্লেষণ।
প্রদত্ত রাশিমালা ঃ x³+ 2x + 3
=.x³+1+2x+2
=(x + 1) (x² − x + 1) +2(x+1)
= (x + 1) (x² − x +1+2)
= (x + 1) (x-x + 3)
.:. x³+ 2x + 3 = (x + 1) (x²-x+3)
[এক্ষেত্রে a³ + b³-এর সূত্র ব্যবহার করা হল।]
3. a³-12a-16
= a³+ 2a²-2a²-4a-8a-16
= a²(a + 2) - 2a (a + 2) - 3 (a + 2)
[a = – 2 বসালে a-12a – 16 = 0 হয়।]
= (a + 2) (a² - 2a- 8 )
= (a + 2) (ಠ-4a + 2a-8)
= (a + 2) {a (a-4) + 2 (a –4)}
(a + 2) (a + 2) (a - 4)
= (a + 2) (a - 4)(a+2)
: a³- 12a – 16 = (a + 2)² (a - 4)
বিকল্প পদ্ধতি : a³– 12a-16
= a³ + 8 - 12a-24
= (a + 2) (a - 2a + 4) – 12 (a + 2)
= (a + 2) (a - 2a + 4 -12
= (a + 2)(a-2a- 8 )
= (a + 2) (a-4) (a + 2)
= (a + 2)² (a-4)
4. x³– 6x + 4
= x³-2x²+2x-4x-2x+4
= x²(x – 2) + 2x (x - 2) - 2 (x - 2)
[x = 2, হলে x³ – 6x + 4 = 0 হয় উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে]
= (x – 2) (x² + 2x - 2 )
বিকল্প পদ্ধতি : x³- 6x + 4
= x- 8-6x+12
=(x-2) (x²+2x+4)-6 (x-2)
=(x-2) (x²+2x+4-6)
=(4-2) (x²+2x-2)
:.x³-6x + 4 = (x - 2) (x²+2x-2)
5. x³- 19x - 30
= x³+ 2x²-2x² - 4x - 15x-30.
= x² (x + 2) - 2x (x + 2) - 15 (x + 2)
[x = – 2,হলে x³ - 19x - 30 = 0 হয়]
=(x + 2) (x²-2x -15)
= (x + 2) (x² – 5x + 3x - 15)
= (x + 2 {x (x – 5) +3 (x – 5)}
= (x + 2) (x + 5) (x - 5 )
:. x³ – 19 x – 30 = (x + 3) (x + 2) (x – 5)
বিকল্প পদ্ধতি : x³ −19x - 30
=x³+8-19x-38
= (x + 2) (x² - 2x + 4) - 19 (x+2)
=(x + 2) (x²-2x - 15)
= (x + 2) (x + 3) (x- 5 )
6. 4a³ – 9a² + 3a + 2
= 4a³ - 4a² – 5a² + 5a-2a + 2
= 4a (a - 1) - 5a (a - 1) - 2 (a - 1)
[: a = 1 বসালে প্রদত্ত রাশির মান শূন্য হয়।]
= (a-1) (4à²-5a-2)
: 4a³ – 9a² + 3a + 2 = (a -1) (4a²-5a-2)
7. x³ – 9.x² + 23x - 15
= x³- x²-8x² + 8x + 15x - 15
x(x – 1) – 8x (x - 1) +15 (x – 1)
[x = 1 বসালে প্রয়োগরাশির মান শূন্য হয়, উৎপাদক উপাদা অনুসারে,(x−1) একটি উৎপাদক।]
= (x-1) (x²-8x +15)
=(x - 1) (x² – 5x - 3x + 15 )
= (x – 1 ) { x (x –5) -3 (x –5)}
= (x – 1) (x –5) (x – 3 )
:.x³-9x²+23x - 15 = (x-1) (x - 5) (x-3)
8. 5a³ + 11a² + 4a -2
= 5a³+ 5a² + 6a² + 6a-2a-2
= 5a³ (a + 1) + 6a (a + 1) - 2 (a+1)
= (a +1) (5a² + 6a-2)
:.5a³+ 11a²+ 4a - 2 = (a + 1) (5a + 6a - 2)
9. 2x³-x²-9x + 5
= 2x³ + x² −2x² - x + 10x+5
= x² (2x + 1) – x (2 x + 1) + 5 (2x+1)
: [x = -½ বসালে প্রদত্ত রাশির মান শূন্য হয়,
গুণনীয়ক বা উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে (2x+1), প্রদত্ত রাশিমালার একটি উৎপাদক]
= (2x + 1) (x – x + 5 )
2x³ -x² + 9x + 5 = (2x+1) (x²- x + 5)
10. 2y³-5y²- 19y + 42
= 2y²-4y²-y²+2y-21y+42
= 2y² (y-2)-y(y-2)-21 (y-2)
= (y- 2) (2y²-y- 21 )
= (y-2) (2y²-7y + 6y-21)
= (y-2) {y (2y-7)+3 (2y-7)}
= (y-2) (2y-7) (y + 3)
:. 2y³-5y²- 19y + 42= (y-2) (2y-7) (v + 3)