বহুপদী সংখ্যামালা নবম শ্রেণীর গণিত কষেদেখি ৭.৪ সমাধান
নবম শ্রেণীর গণিত
বহুপদী সংখ্যামালা
কষেদেখি ৭.৪
1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলির মধ্যে কোনগুলির এক
(i) 2x³ + 3x² -1
সমাধান:-
x+1 = 0
বা, x = - 1
2(-1)³ +3.(-1)²-1
=-2+3-1
=0.
: (x + 1), 2x³ + 3x² – 1-এর উৎপাদক।
(ii) x⁴+ x³ - x²+4x + 5
সমাধান:-
x+1 = 0
বা, x = - 1
(− 1)⁴+ + (-1)³ – (−1)² + 4 (-1) + 5
=1-1-1-4+5
=0
:. (x + 1), x⁴ + x³ – x² + 4x + 5 এর উৎপাদক।
(ii) 7x³ + x²+7x+1
সমাধান:-
x+1 = 0
বা, x = - 1
7(−1)³ + (– 1)² + 7(−1) + 1
=-7+1-7+1=-12
..' (x + 1), 7x³ + x² + 7x + 1 এর উৎপাদক নয়।
(iv) 3 + 3x - 5x³-5x⁴
সমাধান:-
x+1 = 0
বা, x = - 1
(v) x⁴ + x² + x +1
সমাধান:-
x+1 = 0
বা, x = - 1
3 + 3.(-1)³ – 5.(-1)³ – 5.(-1)⁴
= 3-3+5-5
=0
. (x + 1), 3 + 3x - 5x³ - 5x⁴ এর উৎপাদক।
(iv) x⁴+x²+x+1
সমাধান:-
x+1 = 0
বা, x = - 1
(−1)⁴ + (+1)² + (-1) + 1
= 1+1-1+1
=2
:. (x + 1), x⁴ + x²+ x + 1 এর উৎপাদক নয়।
(vi) x³+x²+x+1
সমাধান:-
x+1 = 0
বা, x = - 1
(1)³ + (+1)² + (-1) + 1
=-1+1-1+1
=0
:: (x + 1), x³ + x² + x + 1 এর উৎপাদক।
2. গুণনীয়ক উপপাদ্য ব্যবহার করে নীচের বহুপদী
সংখ্যামালাগুলি f(x)-এর একটি উৎপাদক g(x) কিনা লিখি।
(i) f(x) = x + - x² – 12 এবং g(x) = x + 2
সমাধান:-ধরি g(x) = 0
.. x + 2 = 0
বা, x = - 2
:. f(-2)= (-2)²- (-2)²--12
= 16-4-12
= 0
: g(x) = x + 2; f(x) = x³ – x² – 12 এর উৎপাদক।
(ii) f(x) = 2x³ + 9 x²– 11x – 30 এবং g(x) x+5
সমাধান:-
ধরি g (x) = 0
.:. x + 5 = 0
বা, x = - 5
এখন f(– 5) = 2(– 5)³ + 9 (5)² - 11 (5) - 30
= -250 +225 + 55 - 30
= 280 - 280
= 0
.g(x) = x + 5, f(x) = 2x³ + 9x² - 11x – 30 এর
উৎপাদক।
(iii) f(x) = 2x³ + 7x²-24x-45 এবং g(x)
. = x - 3
সমাধান:-ধরি g(x) = x − 3 = 0
: x = 3
.. f(3) = 2.3³ + 7.3² - 24.3 - 45
= 54 + 63 - 72 -.45
= 117 - 117
= 0
: g(x) = x − 3, f(x) = 2x³ + 7x² - 24x− 45 এর
উৎপাদক।
(iv) f(x) = 3x³ + x² – 20x + 12 এবং g(x)
= 3x - 2
সমাধান:-ধরি g(x) = 0
:. 3x - 2 = 0
বা, x =⅔
:.f(⅔ )= 3. (⅔)³ + (⅔) ² - 20.⅔+ 12
8 8 40
=3×----- + ------ – ----- +12
27 27 3
24+8-360+324
= ----------------------
27
346-360
= ------------------
27
14
= – -----
27
.g (x) = 3x - 2, f(x) = 3x³ + x² – 20x + 12 এর
উৎপাদক।
3. k-এর মান কত হলে x + 2 দ্বারা 2x+ + 3x³ +
2kx² + 3x + 6 বহুপদী সংখ্যামালাটি বিভাজ্য হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:- x + 2 = 0
বা, x = = 2
f(-2)-2.(-2⁴ + 2.(-2)³ + 2.k.(-2)² + 3.(-2) + 6
= 32-16+8k-6 + 6
= 16+ 8k
যদি (x + 2), f(x) এর উৎপাদক হয় তবে f(– 2) = 0
: 16 + 8k = 0
বা, k = =- 2
. k এর মান = -2
4. k-এর মান কত হলে নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলি
f(x)-এর একটি উৎপাদক g(x) হবে হিসাব করি-
(i) f(x) = 2x³ + 9x² + x + k এবং g(x) = x – 1
সমাধান:-
মনেকরি g(x) = 0
বা, x − 1 = 0
বা, x = 1
. f(1) = 2.1³ + 9.1² + 1 + k
= 2 + 9 + 1 + k
= 12 + k
শর্তানুসারে, 12 + k = 0
বা, k=&12
:: k এর মান – 12 হলে g(x), f(x) এর উৎপাদক হবে।
(ii) f(x) = kx² – 3x + k এবং g (x) = x − 1
সমাধান:-
মনেকরি g(x) = 0
বা, x − 1 = 0
বা, x = 1
.. f(1) = k.1² – 3.1 + k
= k - 3 + k
= 2k - 3
শর্তানুসারে, 2k – 3 = 0
বা, K =3/2
k=3/2 হলে g(x), f(x) এর উৎপাদক হবে।
(iii) f(x) = 2x⁴ + x³ – kx² – x + 6 এবংg(x)
2x - 3
সমাধান:-
মনেকরি g(x) = 0
বা, 2x − 3 = 0
বা, x =3/2
3 3 3 3
f(3/2)=2.(-----)⁴++(-----)³-k (----)²- --- + 6
2 2 2 2
81 27 4 3
= 2.----- + ------ + k.----- - ------ +6
16 8 9 2
81 27 9k 3
=---- + ----- + ---- = ------+6
8 8 4 2
শর্তানুযায়ী,
81 27 9k 3
=---- + ----- + ---- = ------+6=0
8 8 4 2
9k 81+27-12+48
বা – ----- =----------------------=0
4 8
9k 156
বা – ----- + ------- =0
4 8
156 9k
বা – ----- + ------- =0
8 4
বা, 9k×8=156×4
156 × 4 78 6
বা,k = ----------- - ----= 8 ---------
9×8 9 9
(iv) f(x) = 2x³ + kx² + 11x + k + 3 এবং g(x)
2x - 1
(iv) মনেকরি g(x) = 0
বা, 2x – 1 = 0
বা, x = ½
:.f (½) = 2. ( ½ )³ + k. (½)² + 11. 1⁄2 +k + 3
1 k 11
= ------ + ----- + ------ + k + 3
2 4 2
শর্তানুসারে,
1 k 11
------ + ----- + ------ + k + 3=0
2 4 2
k + 4k 1+22+12
বা, --------- + --------------/----
4 4
5k 35
বা, --------- + -----------
4 4
বা, 5k + 35 = 0
বা, 5k = - 35
বা, k = - 35/5
বা, k = - 7
5. ax⁴+ + 2x³ – 3x² + bx - 4 বহুপদী সংখ্যামাল।
উৎপাদক x² - 4 হলে a ও b এর মান কত হবে।
হিসাব করে লিখি।
সমাধান:-
x² - 4 = 0,
বা, (x)²-(2)²=0
বা, (x + 2)(x – 2) = 0
বা, (x + 2)=0. (x -2)=0
বা, x + 2=0 বা ,x -2=0
বা, x = – 2, বা,x = 2,
বা, x = – 2, 2
মনেকরি, f(x) = ax⁴ + 2x³ – 3x² + bx - 4
:: f(-2) = a.(-2)⁴+2.(-2)³-3.(-2)² + b.(-2)-4
=16a – 16 -12-2b-4
= 16a – 2b – 32
f(2)= a.2⁴ +2.2³ -3.2² + b.2 - 4
= 16a + 16 – 12 + 2b4
= 16a + 2b.
শর্তানুসারে, 16a – 2b-32 = 0
বা, 16a – 2b = 32
বা, 8a – b = 16.....(i)
-এবং 16a + 2b = 0
বা, 8a + b = 0.......(ii)
(i) নং (ii) নং সমীকরণের সমাধান করে পাই,
a = 1, b = – 8
.:. a = 1, b = - 8
6. x³ + 3x² + 2ax + b বহুপদী সংখ্যামালার দুটি
উৎপাদক (x + 1) এবং (x + 2) হলে, a ও b এর মান কত হবে হিসাব করে লিখি।
Ans. x + 1 = 0
বা, x = − 1
x + 2 = 0
বা, x = = 2
মনেকরি, f(x) = x³ + 3x² + 2ax + b
. f(− 1) = (– 1)³ + 3.(-1)² + 2a.(− 1) + b
= − 1 + 3 – 2a + b
= - 2a + b + 2
f(– 2) = (−2)³ + 3.(-2)² + 2.a.( 2) + b
= - 8 +12-4a + b
= - 4a + b + 4
শর্তানুসারে, – 2a + b + 2 = 0
বা, 2a – b = 2....(i)
এবং – 4a + b + 4 = 0
বা, 4a – b = 4....(ii)
(i) নং (ii) নং সমীকরণের সমাধান করে পাই,
a = 1, b = 0
. a = 1, b = 0
7. ax³ + bx² + x – 6 বহুপদী সংখ্যামালাকে (x – 2 )
দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 4 হয় এবং এই বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক x + 2 হলে a ও b-এর মান কত হবে হিসাব করি।
Ans. x - 2 = 0
বা, x = 2
মনেকরি, f(x) = ax³ + bx² + x - 6
:: f(2) = a.2³ + b.2² + 2 – 6
= 8a + 4b – 4
x + 2 = 0
বা, x = - 2
.. f(− 2) = a.(– 2)³ + b (2)² + (– 2) - 6
= - 8a + 4b - 2 - 6
= – 8a + 4b - 8
শর্তানুসারে, ৪a + 4b - 4 = 4
বা, 8a + 4b = 8.........(i)
এবং – 8a + 4b - 8 = 0
বা, – 2a + b - 2 = 0
বা, – 2a – b = 2
বা, 2a – b = – 2..........(i)
(i) নং (ii) নং সমীকরণের সমাধান করে পাই,
a = 0, b = 2
. a = 0, b = 2
৪. n যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (যুগ্ম বা অযুগ্ম) হলে,দেখাই যে x" – y" বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক x - y.
সমাধান: x - y = 0
বা, x = y
মনেকরি, f(x,y) = x" - y"
. f(x, x) = x" - x" = 0
:. x – y, x" – y" এর উৎপাদক।
9. n`যেকোনো অযুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে দেখাই যে x" + y" বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক
x + y.
Ans. x + y = 0
বা, x = - Y
মনেকরি, f(x, y) = x" + y"
বা, f(x, y) = (– y)" + y"
= – y" + y" (যেহেতু n অযুগ্ম)
= 0
. x – y, x" – y" এর উৎপাদক।
10. n যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (যুগ্ম বা অযুগ্ম)
হলে দেখাই যে xº + y" বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক কখনই x – y হবে না।
সমাধান:-. x – y = 0.
বা, x = y
মনেকরি, f(x, y) = x" + y"
বা, f(y, y) = y" + y"
= 2y" ≠ 0
:. x – y, x" + y" এর উৎপাদক।
11. বহু পছন্দভিত্তিক প্রশ্ন (M.C.Q.) :
(i) x3 + 6x2 + 4x + k বহুপদী সংখ্যামালাটি (x + 2) দ্বারা বিভাজ্য হলে k-এর মান
(a) – 6 (b) – 7 (c) –8 (d) - 10
সমাধান: f(x) = x³ + 6x² + 4x + k
এখন f(x), (x + 2) দ্বারা বিভাজ্য হলে, x + 2 = 0
বা, x = - 2
সুতরাং, f(x), যদি (x + 2) দ্বারা বিভাজ্য হয় তাহলে f(
- 2) = 0
: .(-2)³ + 6(-2)² + 4(-2) + k = 0
বা,- 8+24-8 +k=0
বা, k = 8 [Ans. - (c)]
(ii) f(x) বহুপদী সংখ্যামালার এর একটি উৎপাদক হবে
(a) 2x – 1 (b) 2x + 1 (c) x − 1 (d) x + 1
সমাধান :.f (-½)=0
বা, x = – ½
বা, 2x = - 1
বা, 2x + 1 = 0 [Ans. (b)]
(iii) f(x) বহুপদী সংখ্যামালার (x – 1) একটি উৎপাদক কিন্তু g(x) বহুপদী সংখ্যামালার উৎপাদক নয়। সুতরাং (x –1) একটি উৎপাদক হবে
(a) f(x) g(x) (b) – f(x) + g(x) (c) f(x) - g (x) (d)
{f(x) + g (x)}g (x)
সমাধান: x – 1, f(x) এর একটি উৎপাদক হল,
x − 1 = 0 বা, x = 1
if(1) = 0
কিন্তু x – 1, g(x) এর উৎপাদক নয় অর্থাৎ g(1) = 0
'আবার f(1) g(1) = 0 × {≠ 0} = 0
. (x – 1), f(x) g(x) এর উৎপাদক। [Ans. - (a)]
(iv) x" + 1 বহুপদী সংখ্যামালার (x + 1) একটি
উৎপাদক হবে যখন
(a) n একটি অযুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা
(b) n একটি যুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা
(c) n একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা
(d) n একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা
Ans. a.
(v) an⁴ + bn³ + cn² + dn + c বহুপদী
সংখ্যামালার n – 1 উৎপাদক হলে
(a) a + c + e = b +d
(b) a+b+c= c+d
(c)a + b + c = d + e
(d) b + c+d = a + c
Ans. ধরি, f(n) = an⁴ + bn³ + cn² + dn + c
.: n² – 1, f(n) এর একটি উৎপাদক।
.:n² – 1 = 0
n² = 1
n= ± 1
f(1) = 0 এবংf (-1) = 0
a(1)⁴+ + b(1)³ + c(1)²+d (1) + e= 0
a+b+c+d+e= 0
আবার, a(− 1)⁴ + b(− 1)³ + c (+1)² + d(−1) +e = 0
বা, a - b + c - d + e = 0
বা, a + c + e = b + d [Ans.]
ans.(a)]
12. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন ঃ
(i) x³ + ax² - 2x + a – 12 বহুপদী সংখ্যামালার
একটি উৎপাদক হলে a-এর মান কত হিসাব করে
লিখি।
Ans. x + a একটি উৎপাদক
.. x + a = 0
বা, x = - a
ধরি f(x) = x³ + ax² – 2x + a – 12
':', x + a, f(x)-এর একটি উৎপাদক
f(-a) = 0
. (– a)³ + a(-a)²– 2(a) + a – 12 = 0
বা,- a³ + a³ + 2a + a 12 = 0
বা, 3a = 12
বা, a = 4
:. a এর মান 4
(ii) K²x ³ – kx² + 3kx- k বহুপদী সংখ্যামালার x
3 একটি উৎপাদক হলে k-এর মান কত হিসাব করে লিখি।
সমাধান:.x = 3 একটি উৎপাদক
.:. x - 3 = 0
বা, x = 3
‘ধরি f(x) = k²n³ – kn³+3kn-k
x - 3, f(x)-এর একটি উৎপাদক
f(3) = 0
k²(3)³ – k(3)²+ 3k (3) – k = 0
বা, 27k²-9k+9k-k = 0
বা, 27k² – k = 0
বা, k(27k – 1) = 0
. k = 0
অথবা, 27k – 1 = 0
1
k=----
27
1
:. k এর মান 0, ----
27
(iii) f(x) = 2x + 5 হলে f(x) +f ( — x)-এর মান কে
হবে লিখি।
সমাধান:. f (x) + f (− x) = 2x + 5 – 2x + 5 = 10
. f(x) + f(x) এর মান 10
(iv) px² +5x + r বহুপদী সংখ্যামালার (x – 2) এবং (x – ½ ) উভয়েই উৎপাদক হলে p ও r-এর মধ্যে সম্পর্ক হিসাব করে লিখি।
সমাধান:. (x– 2) এবং (x – ½) উভয়েই উৎপাদক
:.x-2 =0
বা, x = 2
এবং x -½=0
বা, x = ½
ধরি f(x) = px²+ 5x + r
:: (x – 2) এবং (x – 2 ) উভয়েই f(x) এর উৎপাদক
:. f(2)= 0
বা, p(2)² + 5(2) + r = 0
বা, 4p + 10 + r = 0
বা, 4p + r = -10 .....(i)
এবং f(½)=0
বা,p(½)² + 5(½) +r
p 5
বা, ------ + ----- + r =0
4 2
বা, p+ 10 + 4r = 0
বা, p+ 4r = 10.....(ii)
(i) ও (ii) তুলনা করে পাই,
4p + r = p + 4r
বা, 3p = 3r
বা, p = r
সুতরাং, p ও r এর মধ্যে সম্পর্ক হল, p = r
(v) f(x) = 2x + 3 রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার বীজ কত হবে লিখি।
Ans. 2x + 3 = 0
3
বা, x = - ------
2
সুতরাং, f(x) = 2x + 3 রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার
বীজ হবে - 3/2