নবম শ্রেণীর গণিত কষেদেখি ৭.৩ বহুপদী সংখ্যামালা সমাধান/class 9 math 7.3 solution
নবম শ্রেণীর গণিত
কষে দেখি – 7.3
বহুপদী সংখ্যামালা
1. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে x³-x² + 2x + 5 কে
(i) x – 2 (ii) x + 2 (iii) 2x – 1 (iv) 2x + 1 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে কত ভাগশেষ পাব হিসাব করে লিখ
সমাধান:- (i) x - 2 = 0
বা, x = 2
:. f(2)= 2³-3.2² +2.2. +5
=8-12 + 8 + 5
=9
.:. নির্ণেয় ভাগশেষ = 9
(ii) x + 2 = 0
বা, x = - 2
:. f(-2)=(-2)³-3.(-2)² + 2.(-2) +5
=-8-12-4+ 5
= - 19
.:. নির্ণেয় ভাগশেষ = – 19
(iii) 2x − 1 = 0
বা, x = ½
:.(f)(⅓) = (½)³ - 3(½)²+2×½+5
=⅛-¾+1+5
1 - 6 + 48
= ---------------------
8
43
=-------
8
43 3
.:. নির্ণেয় ভাগশেষ = ---- = 5------
8 8
.(iv) 2x + 1 = 0
বা, x =-½
:.(f)(-⅓) = (-½)³ - 3(-½)²+2×(-½) +5
=-⅛ -¾ -1+5
=-⅛ -¾ +4
-1 - 6 + 32
= ---------------------
8
25
=-------
8
25 1
.:. নির্ণেয় ভাগশেষ = ------ = 3-----
8 8
2. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে (x – 1 ) দ্বারা নীচের বহুপদী' সংখ্যামালাকে ভাগ করলে কী কী ভাগশেষ পাব হিসাব করে লিখি।
(i) x³ − 6x² + 13x + 60
সমাধান: 1³-6.1² + 13.1 + 60
1³-6+13 +60
= 1-6 +13 + 60
= 68
নির্ণেয় ভাগশেষ = 68
(ii) x³– 3x² + 4x + 50
নির্ণেয় ভাগশেষ = 1³ – 3.1³ + 4.1 + 50
= 1 - 3+4+50
= 52
(iii) 4x³ + 4x²– x − 1
সমাধান: নির্ণেয় ভাগশেষ = 4.1³ + 4.1²-1-1
= 4 + 4 - 2
= 6
(iv) 11x³– 12x² - x + 7
সমাধান: নির্ণেয় ভাগশেষ
= 11,1²-12.1²-1+7
= 11-12-1+7
=5
3. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে ভাগশেষ লিখি যখন-
(i) (x – 3) দ্বারা (x³– 6x² + 9x-8) বহুপদী সংখ্যামালাকে ভাগ করা হয়।
সমাধান: (i) x − 3 = 0
বা, x = 3
:. নির্ণেয় ভাগশেষ = 3³ – 6.3² + 9.3-8
= 27-54+27-8
= 8
(ii) (x – a) দ্বারা (x3 – ax2 + 2xa) বহুপদী সংখ্যামালাকে ভাগ করা হয়।
সমাধান: x − a = 0
বা, x = a
:. নির্ণেয় ভাগশেষ = a³ – a.a² + 2a - a
=a³-a³+ 2a – a
= a
4. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে p(x) = 4x³ + 4 x² - x – 1 বহুপদী সংখ্যামালা (2x+1)-এর গুনিতক কিনা হিসাব করি।
সমাধান:. 2x + 1 = 0
বা, x =- ⅓
এখন p(− ½) = 4(−½)³ + 4(− ½)²-(-½) -1
4. 4 1
=--- +---- + ---- - 1 - 1
8. 4 2
=- ½ + 1 + ½ -1 =0
:. p(x) = 4x³ + 4 x² - x – 1 বহুপদী সংখ্যামালা (2x+1)-এর গুনিতক।
5. (x – 4) দ্বারা ( 9x³+ 3x² – 3) এবং (2x³ – 5x + a) বহুপদী সংখ্যামালাদ্বয়কে ভাগ করলে যদি একই ভাগশেষ থাকে তবে a-এর মান কী হবে হিসাব করি।
সমাধান: x - 4 = 0
বা, x = 4
ধরি p(x) = ax³ + 3x² - 3
বা, p(4) = a.4³ + 3.4²- 3
= 64a + 48 -3
= 64a + 45
ধরি`q(x) = 2x³ – 5x + a
q(4) = 2.4³ – 5.4 + a
= 128–20+ a
= a + 108...
শর্তানুসারে,
64a + 45 = a + 108
বা, 63a = 63
বা a = 1
6. x³ + 2x² - px – 7 এবং x³ + px²-12x + 6 এই দুটি বহুপদী সংখ্যামালাকে যথাক্রমে (x + 1) ও (1)
দ্বারা ভাগ করলে যদি R, ও R, ভাগশেষ পাওয়া যায় এবং যদি 2R, + R = 6 হয় তবে p-এর মান হিসাব করি।
সমাধান: x + 1 = 0
বা, x = 1
ধরিp(x) = x³ + 2x²-px - 7
P(-1) – (-1)³ +2 (-1)² – P(-1) - 7
= 1+2+p-7
= p-6
x - 2 - 0
বা, x = 2
ধরিq (x) = x³ + px²-12x+6
:. q(2) = 2³ + p.2² 12.2+6
=8 +4p-24+6
=4p - 10
শর্তানুসারে,
2 (p - 6) + 4p 10 = 6
বা, 2p - 12 + 4p - 10 = 6
বা, 6p = 28
28¹⁴
বা, p = ------------ = 4⅔
6³
7. x⁴– 2x³ + 3x² – ax + b বহুপদী সংখ্যামালাকে (x-1) এবং (x + 1) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে 5 এবং 19 হয়। ওই বহুপদী সংখ্যামালাকে x + 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে হিসাব করি।
সমাধান: ধরি f(x) = x⁴-2x³ + 3x²- ax+b
x - 1 = 0
বা, x = 1
f(1) = 1⁴ – 2.1³ + 3.1² a.1 + b
=1-2+3a+b
=2-a+b
x + 1 = 0
বা, x = = 1
f(− 1) = (– 1)⁴ – 2(–1)³ + 3(– 1)² – a.(−1) + b
= 1 + 2 + 2 + a + b
= a + b + 6
শর্তানুসারে,
2 - a + b = 5
বা, − a + b = 3....(I)
এবং a+b+6 = 19
বা, a + b = 13.... (ii)
(i) এবং (ii) কে সমাধান করে পাই
a = 5, b = 8
: f(x) = x⁴ - 2x³ + 3x²- 5x + 8
এখন x + 2 = 0
বা, x = - 2
:. f(-2)=(-2⁴ -2.(-2)³ + 3.(-2)²-5(-2) + 8
= 16+ 16 + 12 + 10 + 8
= 62
.:. নির্ণেয় ভাগশেষ = 62
a (x-b) b(x – a)
8. f(x) -------------- + ---------------
a - b b-a
হয় তাহলে দেখাই যে, (f (a) +f (b) = f(a + b)
L.H.S. =f (a) +f (b)
a(a – b) b (a-a) a(b – b) b (b-a)
=. -------------- + ----------+ ----------- + ----------
(a – b) b (a-a) a(a – b) (b-a)
a(a – b) 0 0 b (b-a)
=. -------------- + --------+ ------------ + ---------
(a – b) b (a-a) a(a – b) (b-a)
=a+b
R.H.S. = f(a + b)
a(a + b – b) b(a + b - a)
= --------------- = ---------------------
a - b b - a
a(a ) b( b )
= ------------ = ------------
a - b b - a
a² b²
= ---------- -– -----------
a - b a - b
a²- b²
= -------------
a - b
(a+b)(a-b)
= -------------------=a+b
a - b
:.L.H.S. = R.H.S (প্রমাণিত)
9. f(x) = ax + b এবংf(0) = 3, f(2) = 5 হলে a ও b-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান: f(x) = ax + b
:: f(0) = a.0² + b = b
শর্তানুসারে, f(0) = 3
বা, b = 3
শর্তানুসারে, f(2) = 5
বা,2a+3 = 5
বা, 2a = 5-3
বা, 2a = 2
বা, a = 2/2=1
b-a
10. f(x) = ax² + bx + c এবং f(0) = 2, f(1) = 1 3f(4) = 6 হলে a, b, 3c-এর মান নির্ণয় করি।
f(0) = 2
বা, a.0² + b.0 + c = 2
বা, c=2
f(1) = 1
বা, a 1² + b.1 +c = 1
বা, a + b + c = 1
বা, a + b = 1- c
বা, a + b = 1 – 2 = 1...(I)
f(4)=-6
বা, a.4² + b.4 + c = 6
বা, 16a + 4b + c = 6
বা, 16a + 4b + 2 = 6
বা, 16a + 4b = 4
বা, 4a + b = 1.........(ii)
(i) ও (ii) সমীকরণ সমাধান করে পাই,
a = ⅔, b = -5/3
:. a = ⅔, b = -5/3, c= 2